Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(z^2+3\overline{z}-2z.\overline{z}=0\)?
\(0\). \(2\). \(4\). \(1\). Hướng dẫn giải:Giả sử \(z=x+yi,\left(x,y\in\mathbb{R}\right)\), khi đó:
\(z^2+3\overline{z}-2z.\overline{z}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+yi\right)^2+3\left(x-yi\right)-2\left(x+yi\right).\left(x-yi\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi+3x-3yi-2\left(x^2+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi+3x-3yi-2\left(x^2+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-x^2-3y^2+3x+\left(2xy-3y\right)i=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}-x^2-3y^2+3x=0\\2xy-3y=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}-x^2-3y^2+3x=0\\\left(2x-3\right)y=0\end{cases}\)
Từ phương trình thứ hai suy ra \(y=0\) hoặc \(x=\frac{3}{2}\)
*) Với \(y=0\) thay vào phương trình thứ nhất ta có \(x=0\) hoặc \(x=3\), hay là ta có \(2\) số phức: \(z=0\) và \(z=3\)
*) Với \(x=\frac{3}{2}\) thay vào phương trình thứ nhất ta có: \(y=\frac{\sqrt{3}}{2}\) hoặc \(y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), ta có \(2\) số phức tương ứng là: \(z=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,z=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)
Vậy có \(4\) số phức khác nhau thỏa mãn đẳng thức đã cho là:
\(z=0;z=3;z=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i;z=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\).