Cho hai điểm \(A\left(-2;3;-1\right);B\left(1;-2;-3\right)\) và mặt phẳng \(\left(\beta\right):3x-2y+z+9=0\). Mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) chứa hai điểm \(A,B\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left(\beta\right)\) có phương trình
\(x+y-z-2=0\).\(x-y+z-2=0\).\(x-y-z-2=0\).\(x+y+z-2=0\).Hướng dẫn giải:\(A\left(-2;3;-1\right);B\left(1;-2;-3\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(3;-5;-2\right)\) .
\(\left(\beta\right):3x-2y+z+9=0\Rightarrow\overrightarrow{b}=\left(3;-2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của \(\left(\beta\right)\).
Mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) vuông góc với \(\left(\beta\right)\) nên \(\overrightarrow{b}\) song song với \(\left(\alpha\right)\). Vì vậy \(\left(\alpha\right)\) có cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow{AB}\left(3;-5;-2\right),\overrightarrow{b}\left(3;-2;1\right)\) và có vecto pháp tuyến \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b}\right]=\left(-9;-9;9\right)=-9.\left(1;1;-1\right).\)
Mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) có phương trình dạng \(x+y-z+D=0.\)
Mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) chứa điểm \(A\left(-2;3;-1\right)\) nên \(-2+3-\left(-1\right)+D=0\Leftrightarrow D=-2.\)
Đáp số: \(x+y-z-2=0.\)