Cho bốn điểm \(A\left(3;-2;1\right);B\left(-4;0;3\right);C\left(1;4;-3\right);D\left(2;3;5\right)\). Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa \(AC\) và song song với \(BD\) là :
\(12x+10y+21z+35=0\) \(12x-10y+21z-35=0\) \(12x-10y-21z-35=0\) \(12x+10y-21z+35=0\) Hướng dẫn giải:\(A\left(3;-2;1\right);B\left(-4;0;3\right);C\left(1;4;-3\right);D\left(2;3;5\right)\) nên
\(\overrightarrow{AC}=\left(-2;6;-4\right),\overrightarrow{BD}=\left(6;3;2\right),\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right]=\left(24;-20;-42\right)=2.\left(12;-10;-21\right)\)
Chọn \(\overrightarrow{n}\left(12;-10;-21\right)\) làm vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần viết phương trình, do đó phương trình mặt phẳng này có dạng \(12x-10y-21z+m=0\). Vì điểm \(A\left(3;-2;1\right)\) thuộc mặt phẳng nên
\(12.3-10.\left(-2\right)-21.1+m=0\Rightarrow m=-35.\)
Phương trình mặt phẳng cần tìm là \(12x-10y-21z-35=0\).