Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (0 ; 1 ; 2) và hai đường thẳng :
\(d_1:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{-1}\) và: \(d_2:\begin{cases}x=1+t\\y=-1-2t\\z=2+t\end{cases}\).
Tìm tọa độ \(M\in d_1,N\in d_2\) sao cho A, M, N thẳng hàng.
\(M\left(0;1;-1\right),N\left(0;1;1\right)\) \(M\left(2;2;-2\right),N\left(0;1;1\right)\) \(M\left(2;2;-2\right),N\left(2;-3;3\right)\) \(M\left(0;1;-1\right),N\left(1;-1;2\right)\) Hướng dẫn giải:\(M\in d_1,N\in d_2\) nên \(M\left(2m;1+m;-1-m\right),N\left(1+t;-1-2t;2+t\right)\).
Suy ra: \(\overrightarrow{AM}\left(2m;m;-3-m\right),\overrightarrow{AN}\left(1+t;-2-2t;t\right)\).
Ba điểm A, M, N thẳng hàng khi và chỉ khi độ dài tích có hướng của \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{AN}\) bằng 0.
Ta có:
\(\left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN}\right]=\left(\left|\begin{matrix}m&-3-m\\-2-2t&t\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-3-m&2m\\t&1+t\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2m&m\\1+t&-2-2t\end{matrix}\right|\right)\)
\(=\left(-mt-2m-6t-6;-3mt-m-3t-3;-5mt-5m\right)\)
A, M, N thẳng hàng \(\Leftrightarrow\) \(\left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN}\right]=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}-mt-2m-6t-6=0\\-3mt-m-3t-3=0\\-5mt-5m=0\end{cases}\)
Từ phương trình thứ ba suy ra:
\(-5mt-5m=0\)
=> \(\left[\begin{array}{nghiempt}m=0\\t=-1\end{array}\right.\)
Với m = 0 , thay vào hai phương trình đầu của hệ ta tìm được \(t=-1\)
Với t = -1, thay vào hai phương trình đầu ta tìm đươc m = 0
Vậy cả hai trường hợp đều cho kết quả m = 0 và t = -1.
\(\Rightarrow M\left(0;1;-1\right),N\left(0;1;1\right)\)