Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.DEF\).
Biết \(A\left(0;0;0\right),B\left(0;3;0\right),C\left(0;0;3\right),D\left(1;0;0\right)\).
Tính khoảng cách từ trọng tâm \(G\) của tam giác \(DEF\) đến mặt phẳng \(\left(ABD\right)\).
\(1\) \(\sqrt{3}\) \(3\) \(4\) Hướng dẫn giải:
- Viết phương trình mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) qua \(A\left(0;0;0\right),B\left(0;3;0\right),D\left(1;0;0\right).\) Từ tọa độ của \(A,B,D\) ta thấy cả ba điểm này đều nằm trên mặt phẳng \(\left(xOy\right)\) nên \(\left(ABD\right)\equiv\left(xOy\right)\) và có phương trình \(z=0.\)
- Tính khoảng cách từ \(G\) tới mặt phẳng \(\left(ABD\right).\) Gọi \(K\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì \(KG\) song song với \(CF\) do đó \(KG\) song song với mp\(\left(ABD\right),\) vì thế khoảng cách từ \(G\) tới mp\(\left(ABD\right)\) cũng bằng khoảng cách từ \(K\) tới mp\(\left(ABD\right).\) Trọng tâm \(K\) có tọa độ \(x=\frac{0+0+0}{3}=0;y=\frac{0+3+0}{3}=1;z=\frac{0+0+3}{3}=1.\) Khoảng cách cần tính là \(\frac{\left|1\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=1.\)