Tìm \(a\) để \(4\) điểm \(A\left(1;2;1\right),B\left(2;a;0\right),C\left(4;-2;5\right),D\left(6;6;6\right)\) thuộc một mặt phẳng.
\(a=5\) \(a=25\) \(a=\frac{78}{5}\) \(a=3\) Hướng dẫn giải:Trước hết ta tìm phương trình mặt phẳng \(\left(P\right)\) đi qua \(3\) điểm \(A\left(1;2;1\right),C\left(4;-2;5\right),D\left(6;6;6\right)\):
- vecto pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\). Ta có:
\(\overrightarrow{AC}=\left(4-1;-2-2;5-1\right)=\left(3;-4;4\right)\)
\(\overrightarrow{AD}=\left(6-1;6-2;6-1\right)=\left(5;4;5\right)\)
\(\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=\left(\left|\begin{matrix}-4&4\\4&5\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right|\right)\)
\(=\left(-36;5;32\right)\)
Phương trình \(\left(P\right)\) đi qua \(A\left(1;2;1\right)\) và có vecto pháp tuyến (-36;5;32) là:
\(-36\left(x-1\right)+5\left(y-2\right)+32\left(z-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-36x+5y+32z-6=0\)
\(A,B,C,D\) đồng phẳng khi và chỉ khi \(B\left(2;a;0\right)\) thuộc mặt phẳng\(\left(P\right)\), tức là \(-36.2+5a-6=0\Leftrightarrow a=\frac{78}{5}.\)