Viết phương trình mặt phẳng \(\left(P\right)\) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng \(x-y+z-4=0,3x-y+z-1=0\)
và đi qua điểm \(F\left(2;1;-1\right).\)
Các điểm thuộc giao tuyển của hai mặt phẳng có tọa độ \(\left(x,y,z\right)\) thỏa mãn hệ:
\(\begin{cases}x-y+z-4=0\\3x-y+z-1=0\end{cases}\)
Cho \(y=0\) thì:
\(\begin{cases}x+z=4\\3x+z=4\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-\frac{3}{2}\\y=\frac{11}{2}\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow M\left(-\frac{3}{2};0;\frac{11}{2}\right).\)
Cho \(z=0\) thì:
\(\begin{cases}x-y=4\\3x-y=1\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-\frac{3}{2}\\y=-\frac{11}{2}\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow N\left(\frac{-3}{2};\frac{-11}{2};0\right)\).
Do đó mặt phẳng \(P\) đi qua \(3\) điểm \(M\left(\frac{-3}{2};0;\frac{11}{2}\right),N\left(\frac{-3}{2};\frac{-11}{2};0\right),F\left(2;1;-1\right)\).\(P\) qua F và có vec to pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{FM},\overrightarrow{FN}\right]\).
Ta có:
\(\overrightarrow{FM}=\left(-\frac{3}{2}-2;0-1;\frac{11}{2}+1\right)=\left(-\frac{7}{2};-1;\frac{13}{2}\right)\)
\(\overrightarrow{FN}=\left(-\frac{3}{2}-2;-\frac{11}{2}-1;0+1\right)=\left(-\frac{7}{2};-\frac{13}{2};1\right)\)
\(\left[\overrightarrow{FM},\overrightarrow{FN}\right]=\left(\left|\begin{matrix}-1&\frac{13}{2}\\-\frac{13}{2}&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}\frac{13}{2}&-\frac{7}{2}\\1&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-\frac{7}{2}&-1\\-\frac{7}{2}&-\frac{13}{2}\end{matrix}\right|\right)\)
\(=\left(\frac{165}{4};-\frac{77}{4};\frac{77}{4}\right)=\frac{11}{4}\left(15;-7;7\right)\)
\(P\) qua \(F\left(2;1;-1\right).\) và có vec tơ pháp tuyến là \(\left(15;-7;7\right)\) , phương trình là:
\(15\left(x-2\right)-7\left(y-1\right)+7\left(z+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow15x-7y+7z-16=0.\)
Cách khác (sử dụng chùm mặt phẳng): Mặt phẳng cần viết phương trình thuộc chùm mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng \(x-y+z-4=0,3x-y+z-1=0\) nên có phương trình dạng (chú ý rằng điểm \(F\left(2;1;-1\right).\) không thuộc mặt phẳng \(x-y+z-4=0\))
\(m\left(x-y+z-4\right)+\left(3x-y+z-1\right)=0\) (1)
Điều kiện mặt phẳng chứa điểm \(F\left(2;1;-1\right)\) tương đương với \(m\left(2-1-1-4\right)+\left(3.2-1-1-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-4m+3=0\Leftrightarrow m=\frac{3}{4}\).
Phương trình cần tìm: \(\frac{3}{4}\left(x-y+z-4\right)+\left(3x-y+z-1\right)=0\Leftrightarrow15x-7y+7z-16=0\).
Cách khác (Mẹo): Dễ kiểm tra xem mặt phẳng trong mỗi đáp số có qua \(F\left(2;1;-1\right)\) hay không. Cụ thể thao tác trêm MTCT như sau: Ta thấy chỉ có mặt phẳng \(15x-7y+7z-16=0\) chứa điểm \(F\left(2;1;-1\right)\) nên các đáp án còn lại đều bị loại. Đáp án đúng chỉ có thể là \(15x-7y+7z-16=0\).