Đặt hệ trục Oxy vào hình thang với gốc O trùng A, tia Ox cùng hướng tia AB, coi a là 1 đơn vị độ dài \(\Rightarrow B\left(1;0\right)\)
Kéo dài AB cắt DC kéo dài tại E, dễ dàng tính được \(\widehat{A}=\widehat{D}=60^0\Rightarrow\Delta BCE;\Delta ADE\) đều \(\Rightarrow AE=2a\Rightarrow E\left(0;2\right)\)
và hình chiếu của D lên AB trùng B, hình chiếu C lên AB trùng trung điểm của BE
\(\Rightarrow D\left(1;\sqrt{3}\right)\) ; \(C\left(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
Từ đây ta viết được pt các đường thẳng:
AD: \(y=\sqrt{3}x\) và BC: \(y=\sqrt{3}\left(x-1\right)\)
Thể tích cần tính:
\(V=2\pi\left(\int\limits^1_03x^2dx-\int\limits^{\frac{3}{2}}_13\left(x-1\right)^2dx\right)=\frac{7\pi}{4}\)
Do bên trên quy định 1 đơn vị độ dài bằng a nên \(V=\frac{7\pi a^3}{4}\)
Hoặc đơn giản là: sau khi biết được các tam giác ADE, BCE là các tam giác đều, thì thể tích cần tính sẽ bằng 2 lần thể tích khi quay AD quanh AB (\(V_1\) ) trừ 2 lần thể tích xoay BC quanh AB \(\left(V_2\right)\)
Mà quay AD quanh AB cho ta hình nón có \(R_1=a\sqrt{3}\); \(h_1=a\)
\(\Rightarrow V_1=\frac{1}{3}\pi R_1^2h_1=\pi a^3\)
Quay BC quanh AB cho nón có \(R_2=\frac{R_1}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\); \(h_2=\frac{1}{2}h_1=\frac{a}{2}\)
\(\Rightarrow V_2=\frac{\pi a^3}{8}\)
\(\Rightarrow V=2\left(V_1-V_2\right)=\frac{7\pi a^3}{4}\)
