Question

Cho hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x-my=2-4m\\mx+y=3m+1\end{matrix}\right.\)

Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Gỉa sử (x₀; y₀) là 1 nghiệm của hệ. Chứng minh đẳng thức x₀² + y₀² - 5(x₀ + y₀) + 10 = 0

Answer 1

pt (1) <=>\(x=2+my-4m\) thay vào pt (2) có:

\(\left(2+my-4m\right)m+y=3m+1\)

<=>\(y\left(m^2+1\right)=m+4m^2+1\) (3)

Để hpt có nghiệm <=> pt (3) có nghiệm

<=> \(m^2+1\ne0\) (luôn đúng với mọi m)

=> pt (3) có nghiệm duy nhất => hpt có nghiệm duy nhất với mọi m.

Do x₀,y₀ là 1 nghiệm của hệ => \(\left\{{}\begin{matrix}x_0-my_0=2-4m\\my_0+y_0=3m+1\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_0-2=m\left(y_0-4\right)\\y_0-1=m\left(3-x_0\right)\end{matrix}\right.\) <=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x_0-2\right)\left(3-x_0\right)=m\left(3-x_0\right)\left(y_0-4\right)\\\left(y_0-1\right)\left(y_0-4\right)=m\left(3-x_0\right)\left(y_0-4\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left(x_0-2\right)\left(3-x_0\right)=\left(y_0-1\right)\left(y_0-4\right)\)

<=>\(5x_0-x_0^2-6=y_0^2-5y_0+4\)

<=>\(x^2_0+y^2_0-5\left(y_0+x_0\right)+10=0\)