\(f\left(x\right)=x^3-2x^2+x-mx+m=x\left(x-1\right)^2-m\left(x-1\right)\)
\(f\left(x\right)\ge\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow x\left(x-1\right)^2-m\left(x-1\right)\ge\dfrac{1}{x}\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)^2-mx\left(x-1\right)-1\ge0\) (1) (do \(x\ge2>0\))
Đặt \(x\left(x-1\right)=t\), do \(x\ge2\Rightarrow t\ge2\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow t^2-mt-1\ge0\) \(\forall t\ge2\) (2)
Gọi \(t_1;t_2\) là 2 nghiệm của pt \(g\left(t\right)=t^2-mt-1=0\) (\(a.c=-1< 0\) nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt), (2) xảy ra khi và chỉ khi \(t_1< t_2\le2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a.g\left(2\right)=1.g\left(2\right)\ge0\\\dfrac{S}{2}-2=\dfrac{m}{2}-2< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3-2m\ge0\\m-4< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le\dfrac{3}{2}\)
