Question

Tìm giá trị lớn nhất của \(\frac{2}{x^2+x+1}\)

Answer 1

Lời giải:

Ta thấy:

\(x^2+x+1=x^2+2.x.\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\)

Vì \((x+\frac{1}{2})^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow x^2+x+1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow \frac{2}{x^2+x+1}\leq \frac{2}{\frac{3}{4}}=\frac{8}{3}\)

Vậy GTLN của biểu thức là $\frac{8}{3}$

GTLN thu được khi $(x+\frac{1}{2})^2=0$ hay $x=-\frac{1}{2}$