Người hay giúp bạn khác trả lời bài tập sẽ trở thành học sinh giỏi. Người hay hỏi bài thì không. Còn bạn thì sao?
CMR tổng khoảng cách từ 1 điểm bất kì trong tam giác đều đến 3 cạnh của tam giác không phụ thuộc vào vị trí điểm đó
Dưới đây là những câu có bài toán hay do HOC24 lựa chọn.
Học trực tuyến cùng hoc24.vn
Câu hỏi của Khách đã được gửi lên hoc24 😊 Mẹo nhỏ: Click vào nút bên dưới để chia sẻ lên Facebook câu hỏi này và sẽ nhanh chóng nhận được câu trả lời từ các bạn của mình ❤
Lời giải:
Lấy điểm $M$ bất kỳ trong tam giác đều $ABC$ cạnh $a$
Từ $M$ kẻ $ME,MF,MK$ lần lượt vuông góc với $BC,CA,AB$
Khi đó ta có:
\(S_{ABC}=S_{MAB}+S_{MBC}+S_{MAC}=\frac{MK.AB}{2}+\frac{ME.BC}{2}+\frac{MF.AC}{2}\)
\(=\frac{(ME+MF+MK)a}{2}\)
\(\Rightarrow ME+MF+MK=\frac{2S_{ABC}}{a}(1)\)
Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$. Vì tam giác đều nên $AH$ đồng thời là đường trung tuyến hay $H$ là trung điểm $BC$
\(\Rightarrow HB=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{AH.BC}{2}=\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}.a}{2}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow ME+MF+MK=\frac{\sqrt{3}a}{2}\), tức là tổng khoảng cách \(ME+MF+MK\) không phụ thuộc vào vị trí điểm $M$ mà luôn bằng một giá trị xác định là \(\frac{\sqrt{3}a}{2}\) (đpcm)