giải pt nghiệm nguyên sau: 1, x2+y2-8x+3y=-18
2, x+y+xy =x^2+y^2
3, x2+(x+y)^2= (x+9)^2
4, \(x^4y-x^4+2x^3-2x^2+2x-y=1\)
giải pt nghiệm nguyên dương
x2+x+1 =y2
Chị @Akai Haruma chị giúp e bài này đc k ạ
Bài 4:
\(x^4y-x^4+2x^3-2x^2+2x-y=1\)
\(\Leftrightarrow y(x^4-1)-(x^4-2x^3+2x^2-2x+1)=0\)
\(\Leftrightarrow y(x^2+1)(x^2-1)-[x^2(x^2-2x+1)+(x^2-2x+1)]=0\)
\(\Leftrightarrow y(x^2+1)(x-1)(x+1)-(x-1)^2(x^2+1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2+1)(x-1)[y(x+1)-(x-1)]=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x-1=0(1)\\ y(x+1)-(x-1)=0(2)\end{matrix}\right.\)
Với $(1)$ ta thu được $x=1$, và mọi $ý$ nguyên.
Với $(2)$
\(y(x+1)=x-1\Rightarrow y=\frac{x-1}{x+1}\in\mathbb{Z}\)
\(\Rightarrow x-1\vdots x+1\)
\(\Rightarrow x+1-2\vdots x+1\Rightarrow 2\vdots x+1\)
\(\Rightarrow x+1\in\left\{\pm 1; \pm 2\right\}\Rightarrow x\in\left\{-2; 0; -3; 1\right\}\)
\(\Rightarrow y\left\{3;-1; 2; 0\right\}\)
Vậy \((x,y)=(-2,3); (0; -1); (-3; 2); (1; t)\) với $t$ nào đó nguyên.
Bài 1:
\(x^2+y^2-8x+3y=-18\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-8x+3y+18=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-8x+16)+(y^2+3y+\frac{9}{4})=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow (x-4)^2+(y+\frac{3}{2})^2=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=\frac{1}{4}-(y+\frac{3}{2})^2\leq \frac{1}{4}<1\)
\(\Rightarrow -1< x-4< 1\Rightarrow 3< x< 5\)
Vì \(x\in\mathbb{Z}\Rightarrow x=4\)
Thay vào pt ban đầu ta thu được \(y=-1\) or \(y=-2\)
Vậy.......
Bài 2:
Ta có: \(x+y+xy=x^2+y^2\)
\(\Leftrightarrow 2x^2+2y^2=2x+2y+2xy\)
\(\Leftrightarrow 2x^2+2y^2-2x-2y-2xy=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-2xy+y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)=2\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2(*)\)
\(\Rightarrow (y-1)^2\leq 2<4\Rightarrow -2< y-1< 2\)
\(\Rightarrow -1< y< 3\Rightarrow y\in\left\{0;1;2\right\}\)
Thay $y$ với các giá trị trên vào pt ban đầu ta thu được:
\(y=0\Rightarrow x=0, x=1\)
\(y=1\Rightarrow x=0; x=2\)
\(y=2\Rightarrow x=1;x=2\)
Bài 3:
\(x^2+(x+y)^2=(x+9)^2\)
\(\Leftrightarrow (x+y)^2=18x+81=9(2x+9)\)
\(\Rightarrow (x+y)^2\vdots 9\Rightarrow x+y\vdots 3\)
Đặt \(x+y=3t\Rightarrow (3t)^2=9(2x+9)\)
\(\Rightarrow t^2=2x+9\) lẻ, do đó $t$ lẻ
\(\Rightarrow x=\frac{t^2-9}{2}\)
Khi đó : \(y=3t-x=3t-\frac{t^2-9}{2}=\frac{6t+9-t^2}{2}\)
Vậy pt có nghiệm \((x,y)=(\frac{t^2-9}{2}; \frac{6t-t^2+9}{2})\) với $t$ là số nguyên lẻ.
Bài 5:
\(x^2+x+1=y^2\)
\(\Rightarrow 4x^2+4x+4=4y^2\)
\(\Rightarrow (2x+1)^2+3=4y^2\)
\(\Rightarrow (2y)^2-(2x+1)^2=(2y-2x-1)(2y+2x+1)=3\)
\(=1.3=3.1=(-1)(-3)=(-3)(-1)\)
Đây là dạng phương trình tích đơn giản. Đến đây ta chỉ cần xét TH là xong
Kết quả:
\((x,y)=(0,1); (-1,1); (-1; -1); (0;-1)\)
