Bài 2. Cấp số cộng

Ta thấy:

a) Số sau hơn số liền trước 3 đơn vị.

b) Số sau hơn số liền trước 2 đơn vị.

c) Số sau hơn số liền trước 5 đơn vị.

d) Số sau hơn số liền trước 3 đơn vị.

Điểm giống nhau của các dãy số này là hai số hạng liền nhau hơn kém nhau một số không đổi.

a) Dãy số: 3; 7; 11; 15; 19; 23 là cấp số cộng có công sai \(d = 4\).

b) Ta có: \({u_{n + 1}} = 9\left( {n + 1} \right) - 9 = 9n + 9 - 9 = \left( {9n - 9} \right) + 9 = {u_n} + 9\).

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có công sai \({\rm{d}} = 9\).

c) Ta có: \({v_{n + 1}} = a\left( {n + 1} \right) + b = an + a + b = \left( {an + b} \right) + a = {v_n} + a\).

Vậy dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng có công sai \({\rm{d}} = a\).

Do tam giác đó là tam giác vuông nên có một góc bằng \({90^ \circ }\).

Giả sử hai góc còn lại của tam giác có số đo lần lượt là \(a,b\left( {{0^ \circ } < a,b < {{90}^ \circ }} \right)\).

Vì tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^ \circ }\) nên ta có: \(a + b + {90^ \circ } = {180^ \circ } \Leftrightarrow a + b = {90^ \circ }\)(1).

Vì số đo ba góc trong tam giác lập thành cấp số cộng nên ta có:

\(b = \frac{{a + {{90}^ \circ }}}{2} \Leftrightarrow 2b = a + {90^ \circ } \Leftrightarrow  - a + 2b = {90^ \circ }\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = {90^ \circ }\\ - a + 2b = {90^ \circ }\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {30^ \circ }\\b = {60^ \circ }\end{array} \right.\)

Vậy số đo ba góc của tam giác vuông đó lần lượt là: \({30^ \circ };{60^ \circ };{90^ \circ }\).

Dãy số chỉ số ô trên vòng là: \(u_1=6;u_2=12;u_3=18;...\)

Ta thấy: \(u_{n+1}=u_n+6\)

Vậy ô trên các vòng theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai d = 6.

\(u_2-u_1=d\\ u_3-u_1=\left(u_2+d\right)-u_1=\left(u_2-u_1\right)+d=d+d=2d\\ ...\\ u_n-u_1=\left(n-1\right)d\)

a, Số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\left(a_n\right)\) là:

\(a_n=a_1+\left(n-1\right)d=5+\left(n-1\right)\left(-5\right)=5-5n+5=10-5n\)

b, Giả sử cấp số cộng \(\left(b_n\right)\) có công sai d, ta có:

\(b_{10}=b_1+\left(10-1\right)d\\ \Leftrightarrow20=2+9d\\ \Leftrightarrow9d=18\\ \Leftrightarrow d=2\)

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\left(b_n\right)\) là:

\(b_n=b_1+\left(n-1\right)d=2+\left(n-1\right)\cdot2=2+2n-2=2n\)

Giả sử cấp số cộng \(\left(c_n\right)\) có số hạng đầu \(c_1\) và công sai d.

Ta có: 

\(c_4=c_1+\left(4-1\right)d=c_1+3d\Leftrightarrow c_1+3d=80\left(1\right)\\ c_6=c_1+\left(6-1\right)d=c_1+5d\Leftrightarrow c_1+5d=40\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}c_1+3d=80\\c_1+5d=40\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c_1=140\\d=-20\end{matrix}\right.\)

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\left(c_n\right)\) là: 

\(c_n=c_1+\left(n-1\right)d=140+\left(n-1\right)\left(-20\right)=160-20\)

\(a,u_1+u_n=u_1+\left[u_1+\left(n-1\right)d\right]=u_1+u_1+\left(n-1\right)d=2u_1+\left(n-1\right)d\\ u_2+u_{n-1}=\left[u_1+d\right]+\left[u_1+\left(n-2\right)d\right]=2u_1+\left(n-1\right)d\\ ...\\ u_k+u_{n-k+1}=\left[u_1+\left(k-1\right)d\right]+\left[u_1+\left(n-k+1-1\right)d\right]=2u_1+\left(n-1\right)d\)

\(b,u_1+u_n=2u_1+\left(n-1\right)d\\ u_2+u_{n-1}=2u_1+\left(n-1\right)d\\ ...\\ u_n+u_1=2u_1+\left(n-1\right)d\)

Cộng vế với vế, ta được:

\(2\left(u_1+u_2+...+u_n\right)=n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]\\ \Leftrightarrow2\left(u_1+u_2+...+u_n\right)=n\left(u_1+u_n\right)\)

a, Ta có thể sắp xếp 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên thành cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=0\) và công sai \(d=2\)

b, Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1\) và công sai d.

Ta có: 

\(u_3+u_{28}=\left(u_1+2d\right)+\left(u_1+27d\right)=2u_1+29d\Leftrightarrow2u_1+29d=100\\ \Rightarrow S_{30}=\dfrac{30\cdot\left[2u_1+29d\right]}{2}=\dfrac{30\cdot100}{2}=1500\)

c, Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu \(v_1\) và công sai \(d\)

Ta có: 

\(S_6=18\Leftrightarrow\dfrac{6\cdot\left[2v_1+5d\right]}{2}=18\Leftrightarrow2v_1+5d=6\left(1\right)\\ S_{10}=110\Leftrightarrow\dfrac{10\cdot\left[2v_1+9d\right]}{2}=110\Leftrightarrow2v_1+9d=22\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{{}\begin{matrix}2v_1+5d=6\\2v_1+9d=22\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=-7\\d=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S_{20}=\dfrac{20\cdot\left[2v_1+19d\right]}{2}=\dfrac{20\cdot\left[2\cdot\left(-7\right)+19\cdot4\right]}{2}=620\)

Theo đề bài ta có dãy số chỉ số ghế có ở các hàng là một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 17\) và công sai \(d = 3\).

a) Số ghế có ở hàng cuối cùng là: \({u_{20}} = {u_1} + 19{\rm{d}} = 17 + 19.3 = 74\) (ghế).

b) Tổng số ghế có trong rạp là: \({S_{20}} = \frac{{20\left[ {2{u_1} + 19{\rm{d}}} \right]}}{2} = \frac{{20\left[ {2.17 + 19.3} \right]}}{2} = 910\) (ghế).