Ôn tập cuối chương 3

Hướng dẫn giải

Mẫu số liệu với giá trị đại diện

Hiệu điện thế đo được (Vôn)	[3,85; 3,90)	[3,90; 3,95)	[3,95; 4,00)	[4,00; 4,05)
Giá trị đại diện	3,875	3,925	3,975	4,025
Số lần An đo	1	6	2	1
Số lần Bình đo	1	3	4	2

Kết quả đo của An:

Giá trị trung bình: \(\overline {{x_1}}  = \frac{1}{{10}}\left( {3,875.1 + 3,925.6 + 3,975.2 + 4,025.1} \right) = 3,94\)

Phương sai của mẫu số liệu:

\({s_1}^2 = \frac{1}{{10}}\left( {3,{{875}^2}.1 + 3,{{925}^2}.6 + 3,{{975}^2}.2 + 4,{{025}^2}.1} \right) - 3,{94^2} = 0,001525\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu: \({s_1} = \sqrt {0,001525}  \approx 0,039\)

Kết quả đo của Bình:

Giá trị trung bình: \(\overline {{x_1}}  = \frac{1}{{10}}\left( {3,875.1 + 3,925.3 + 3,975.4 + 4,025.4} \right) = 3,96\)

Phương sai của mẫu số liệu:

\({s_2}^2 = \frac{1}{{10}}\left( {3,{{875}^2}.1 + 3,{{925}^2}.3 + 3,{{975}^2}.4 + 4,{{025}^2}.2} \right) - 3,{96^2} = 0,002025\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu: \({s_2} = \sqrt {0,002025}  \approx 0,045\)

Vì \({s_2} > {s_1}\) nên Vôn kế của bạn An cho kết quả ổn định hơn.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu: \(R = 178 - 170 = 8\)

Cỡ mẫu: \(n = 3 + 10 + 6 + 1 = 20\)

Vì \(3 < \frac{n}{4} = 20 < 13\) nên nhóm \(\left[ {172;174} \right)\) chứa tứ phân vị thứ nhất.

Do đó, tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = 172 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{{10}}.2 = 172,4\)

Vì \(13 < \frac{{3n}}{4} = 15 < 19\) nên nhóm \(\left[ {174;176} \right)\) chứa tứ phân vị thứ ba. 

Do đó, tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = 174 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - \left( {3 + 10} \right)}}{6}.2 = \frac{{524}}{3}\)

Khoảng tứ phân vị là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{524}}{3} - 172,4 = \frac{{34}}{{15}}\)

Mẫu số liệu với giá trị đại diện

Mức xà (cm)	[170; 172)	[172; 174)	[174; 176)	[176; 180)
Giá trị đại diện	171	173	175	178
Số vận động viên	3	10	6	1

Giá trị trung bình: \(\overline x  = \frac{1}{{20}}\left( {171.3 + 173.10 + 175.6 + 177.1} \right) = 173,5\) (cm)

Phương sai của mẫu số liệu:

\({s^2} = \frac{1}{{20}}\left( {{{171}^2}.3 + {{173}^2}.10 + {{175}^2}.6 + {{177}^2}.1} \right) - 173,{5^2} = 2,35\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu: \(s = \sqrt {2,35}  = \frac{{\sqrt {235} }}{{10}} \approx 1,53\) (cm)

b) Độ phân tán của mẫu số liệu cho biết:

Độ biến thiên của mẫu số liệu gốc xấp xỉ 8cm.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc xấp xỉ \(\frac{{34}}{{15}}cm\).

Phương sai của mẫu số liệu gốc xấp xỉ 2,35.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc xấp xỉ 1,53cm.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Ta có mẫu số liệu ghép nhóm với giá trị đại diện là:

Tiền lãi	[5; 10)	[10; 15)	[15; 20)	[20; 25)	[25; 30)
Giá trị đại diện	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5
Số nhà đầu tư vào lĩnh vực A	2	5	8	6	4
Số nhà đầu tư vào lĩnh vực B	8	4	2	5	6

Tiền lãi trung bình khi đầu tư vào lĩnh vực A là:

\(\overline {{x_A}}  = \frac{{7,5.2 + 12,5.5 + 17,5.8 + 22,5.6 + 27,5.4}}{{2 + 5 + 8 + 6 + 4}} = 18,5\) (triệu đồng)

Tiền lãi trung bình khi đầu tư vào lĩnh vực B là:

\(\overline {{x_B}}  = \frac{{7,5.8 + 12,5.4 + 17,5.2 + 22,5.5 + 27,5.6}}{{8 + 4 + 2 + 5 + 6}} = 16,9\) (triệu đồng)

Do đó, về trung bình, đầu tư vào lĩnh vực A đem lại tiền lãi cao hơn.

b) Phương sai của mẫu số liệu về tiền lãi khi đầu tư vào lĩnh vực A:

\(s_A^2 = \frac{1}{{25}}\left( {7,{5^2}.2 + 12,{5^2}.5 + 17,{5^2}.8 + 22,{5^2}.6 + 27,{5^2}.4} \right) - 18,{5^2} = 34\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về tiền lãi khi đầu tư vào lĩnh vực A: \({s_A} = \sqrt {34} \) (triệu đồng)

Phương sai của mẫu số liệu về tiền lãi khi đầu tư vào lĩnh vực B:

\(s_B^2 = \frac{1}{{25}}\left( {7,{5^2}.8 + 12,{5^2}.4 + 17,{5^2}.2 + 22,{5^2}.5 + 27,{5^2}.6} \right) - 16,{9^2} = 64,64\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về tiền lãi khi đầu tư vào lĩnh vực B: \({s_B} = \sqrt {64,64} \) (triệu đồng)

Như vậy, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về tiền lãi đầu tư vào lĩnh vực B lớn hơn độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về tiền lãi đầu tư vào lĩnh vực A nên đầu tư vào lĩnh vực B là rủi ro hơn. 

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Khoảng biến thiên: \(R = 7,5 - 5 = 2,5\)

Cỡ mẫu: \(n = 2 + 8 + 15 + 10 + 5 = 40\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: \(\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\), vì \({x_{10}} \in \left[ {5,5;6} \right),{x_{11}} \in \left[ {6;6,5} \right)\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 6\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: \(\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\) thuộc nhóm \(\left[ {6,5;7} \right)\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 6,5 + \frac{{\frac{{3.40}}{4} - \left( {2 + 8 + 15} \right)}}{{10}}.0,5 = 6,75\).

Khoảng biến thiên: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 6,75 - 6 = 0,75\)

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có:

Thời gian (giờ)	[5; 5,5)	[5,5; 6)	[6; 6,5)	[6,5; 7)	[7; 7,5)
Giá trị đại diện	5,25	5,75	6,25	6,75	7,25
Số chiếc điện thoại (tần số)	2	8	15	10	5

Thời gian trung bình nghe nhạc liên tục của điện thoại là: \(\overline x  = \frac{1}{{40}}\left( {5,25.2 + 5,75.8 + 6,25.15 + 6,75.10 + 7,25.5} \right) = 6,35\)

Phương sai của mẫu số liệu là:

\({s^2} = \frac{1}{{40}}\left( {5,{{25}^2}.2 + 5,{{75}^2}.8 + 6,{{25}^2}.15 + 6,{{75}^2}.10 + 7,{{25}^2}.5} \right) - 6,{35^2} = 0,2775\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: \(\sqrt {0,2775}  = \frac{{\sqrt {111} }}{{20}} \approx 0,53\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Nếu thay tất cả các tần số trong mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng 4 thì số đặc trưng không đổi là khoảng biến thiên.

Chọn A

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Số đặc trưng không sử dụng thông tin của nhóm số liệu đầu tiên và nhóm số liệu cuối cùng là khoảng tứ phân vị.

Chọn B

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\frac{{3.20}}{4} = 15\) và \(1 + 3 + 8 < 15 < 1 + 3 + 8 + 6\) tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm \(\left[ {17;18} \right)\)

Chọn C

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\frac{n}{4} = \frac{{20}}{4} = 5\) và \(1 + 3 < 5 < 1 + 3 + 8\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {16;17} \right)\)

Chọn C.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Khoảng biến thiên: \(19 - 14 = 5\)

Chọn C

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)