Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4x - 1\) có đồ thị là \((C)\). Hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến tại một điểm \(M\) trên đồ thị \((C)\) là
A. 1 .
B. 2.
C. -1 .
D. 3 .
Bài tập cuối chương IX
Bài 9.24 trang 97 (SGK Kết nối tri thức và cuộc sống)
Thảo luận (1)
Bài 9.25 trang 97 (SGK Kết nối tri thức và cuộc sống)
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 2}}} \right)^5}\)
b) \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\);
c) \(y = {e^x}{\sin ^2}x\);
d) \(y = \log (x + \sqrt x )\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảitham khảo:
a)\(y'\left(x\right)=5\left(\dfrac{2x-1}{x+2}\right)^4.\dfrac{\left(x+2\right)\left(2\right)-\left(2x-1\right).1}{\left(x+2\right)^2}\)
\(=\dfrac{10\left(2x-1\right)\left(x+2\right)^3}{\left(x+2\right)^4}=\dfrac{20x-50}{\left(x+2\right)^4}\)
b)\(y'\left(x\right)=\dfrac{2\left(x^2+1\right)-2x\left(2x\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\)\(=\dfrac{2\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\)
c)\(y'\left(x\right)=e^x.2sinxcosx+e^xsin^2x.2cosx\)
\(=2e^xsinx\left(cosx+sinxcosx\right)\)
\(=2e^xsinxcos^2x\)
d)\(y'\left(x\right)=\dfrac{1}{x\sqrt{x}}.\left(+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+\sqrt{x}+2\right)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(3\sqrt{x}+2\right)}\)
(Trả lời bởi Bùi Nguyên Khải)
Bài 9.26 trang 97 (SGK Kết nối tri thức và cuộc sống)
Xét hàm số luỹ thừa \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha \) là số thực.
a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.
b) Bằng cách viết \(y = {x^\alpha } = {e^{\alpha \ln x}}\), tính đạo hàm của hàm số đã cho.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia: Nếu a là số nguyên dương thì TXĐ là D=R
Nếu a là số không phải nguyên dương thì TXĐ là D=R\{0}
Nếu a không là số nguyên thì TXĐ: D=R
b: \(y'=\left(x^a\right)'=\left(e^{a\cdot lnx}\right)'\)
\(=\dfrac{a}{x}\cdot e^{a\cdot lnx}=\dfrac{a}{x}\cdot x^a=a\cdot x^{a-1}\)
(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)
Bài 9.27 trang 97 (SGK Kết nối tri thức và cuộc sống)
Cho hàm số \(f(x) = \sqrt {3x + 1} \). Đặt \(g(x) = f(1) + 4\left( {{x^2} - 1} \right)f'(1)\). Tính \(g(2)\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(f'\left(x\right)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}\)
Do đó, \(f\left(1\right)=2,f'\left(1\right)=\dfrac{3}{4}\)
Vậy \(g\left(2\right)=f\left(1\right)+4\left(2^2-1\right)f'\left(1\right)=2+12\cdot\dfrac{3}{4}=11\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 9.28 trang 97 (SGK Kết nối tri thức và cuộc sống)
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\). Tính \(f''(1)\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(f'\left(x\right)=\dfrac{\left(x+1\right)'\left(x-1\right)-\left(x+1\right)\left(x-1\right)'}{\left(x-1\right)^2}\)
\(=\dfrac{x-1-x-1}{\left(x-1\right)^2}=\dfrac{-2}{\left(x-1\right)^2}\)
=>\(f''\left(x\right)=\dfrac{-2\cdot\left(-2\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^4}=\dfrac{4}{\left(x-1\right)^3}\)
(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)
Bài 9.29 trang 97 (SGK Kết nối tri thức và cuộc sống)
Cho hàm số \(f(x)\) thoả mãn \(f(1) = 2\) và \(f'(x) = {x^2}f(x)\) với mọi \(x\). Tính \(f''(1)\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Bài 9.30 trang 97 (SGK Kết nối tri thức và cuộc sống)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 1\) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(y'=3x^2+6x\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y'\left(1\right)=9\\y\left(1\right)=3\end{matrix}\right.\)
Phương trình tiếp tuyến là: \(y=9\left(x-1\right)+3=9x-6\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 9.32 trang 97 (SGK Kết nối tri thức và cuộc sống)
Hình 9.10 biểu diễn đồ thị của ba hàm số. Hàm số thứ nhất là hàm vị trí của một chiếc ô tô, hàm số thứ hai biểu thị vận tốc và hàm số thứ ba biểu thị gia tốc của ô tô đó. Hãy xác định đồ thị của mỗi hàm số này và giải thích.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiHàm số c luôn đồng biến, tức là đạo hàm của nó phải luôn không âm, do đó hàm số b là đạo hàm của hàm số c; hàm số b đồng biến trên khoảng mà hàm số a dương và nghịch biến trên khoảng mà hàm số a âm, do đó hàm số a là đạo hàm của hàm số b.
Vậy hàm số a là hàm gia tốc, hàm số b là hàm vận tốc và hàm số c là hàm vị trí của ô tô.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 9.33 trang 97 (SGK Kết nối tri thức và cuộc sống)
Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình: s f(t) {t^3} - 6{t^2} + 9t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét.a) Tính vận tốc của vật tại các thời điểm t 2 giây và t 4 giây.b) Tại những thời điểm nào vật đứng yên?c) Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t 4 giây.d) Tính tổng quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên.e) Trong 5 giây đầu tiên, khi nào vật tăng tốc, khi nào vật giảm tốc?
Đọc tiếp
Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình: \(s = f(t) = {t^3} - 6{t^2} + 9t\), trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét.
a) Tính vận tốc của vật tại các thời điểm t = 2 giây và t = 4 giây.
b) Tại những thời điểm nào vật đứng yên?
c) Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây.
d) Tính tổng quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên.
e) Trong 5 giây đầu tiên, khi nào vật tăng tốc, khi nào vật giảm tốc?
Thảo luận (2)Hướng dẫn giải\(a,v\left(t\right)=s'\left(t\right)=3t^2-12t-9\)
Vận tốc của vật tại thời điểm t = 2s là: \(v\left(2\right)=3\cdot2^2-12\cdot2+9=-3\left(m/s\right)\)
Vận tốc của vật tại thời điểm t = 4s là: \(v\left(4\right)=3\cdot4^2-12\cdot4+9=9\left(m/s\right)\)
b, Khi vật đứng yên, ta có:
\(v\left(t\right)=0\Leftrightarrow3t^2-12t+9=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=1\end{matrix}\right.\)
c, Ta có \(a\left(t\right)=s"\left(t\right)=6t-12\)
Gia tốc của vật tại thời điểm t = 4s là \(a\left(4\right)=6\cdot4-12=12\left(m/s^2\right)\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)