Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{n}{{{3^n} - 1}}\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) lần lượt là:
A. \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{27}}\).
B. \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}\).
C. \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{25}}\).
D. \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{28}}\).
Cho dãy số: \(\frac{1}{3};\frac{1}{{{3^2}}};\frac{1}{{{3^3}}};\frac{1}{{{3^4}}};\frac{1}{{{3^5}}};...\). Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. \({u_n} = \frac{1}{3}.\frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\).
B. \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\).
C. \({u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}\).
D. \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 1}}}}\).
Thảo luận (2)Hướng dẫn giải
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\). Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng và bị chặn.
B. Dãy số giảm và bị chặn.
C. Dãy số giảm và bị chặn dưới.
D. Dãy số giảm và bị chặn trên.
Thảo luận (2)Hướng dẫn giải
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\), công sai \(d\). Khi đó, với \(n \ge 2\) ta có
A. \({u_n} = {u_1} + d\).
B. \({u_n} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d\).
C. \({u_n} = {u_1} - \left( {n - 1} \right)d\)
D. \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 3\) và \({u_2} = - 1\). Khi đó
A. \({u_3} = 4\).
B. \({u_3} = 2\).
C. \({u_3} = - 5\).
D. \({u_3} = 7\).
Thảo luận (2)Hướng dẫn giải
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = - 1\) và công sai \(d = 3\). Khi đó \({S_5}\) bằng
A. 11.
B. 50.
C. 10.
D. 25.
Thảo luận (2)Hướng dẫn giải
Có bao nhiêu số thực \(x\) để \(2x - 1;x;2x + 1\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Thảo luận (2)Hướng dẫn giải
Một tam giác có số đo các góc lập thành cấp số nhân có công bội \(q = 2\). Số đo các góc của tam giác đó lần lượt là:
A. \(\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}\).
B. \(\frac{\pi }{5};\frac{{2\pi }}{5};\frac{{4\pi }}{5}\).
C. \(\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{6};\frac{{4\pi }}{6}\).
D. \(\frac{\pi }{7};\frac{{2\pi }}{7};\frac{{4\pi }}{7}\).
Thảo luận (2)Hướng dẫn giải
Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{3^n} - 1}}{{{2^n}}}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(u_{n+1}=\dfrac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}=\dfrac{3\cdot3^n-1}{2\cdot2^n}\)
Ta có:
\(u_{n+1}-u_n=\dfrac{3\cdot3^n-1}{2\cdot2^n}-\dfrac{3^n-1}{2^n}=\dfrac{3\cdot3^n-1-2\cdot3^n+2}{2\cdot2^n}=\dfrac{3^n+1}{2^{n+1}}>0\forall x\in N\)*
Do đó, \(u_{n+1}-u_n>0\Leftrightarrow u_{n+1}>u_n\)
Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Xét tính bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(u_n=\dfrac{2n+1}{n+2}=\dfrac{2\left(n+2\right)-3}{n+2}=2-\dfrac{3}{n+2}\)
\(\forall x\in N\)*, ta có:
\(n+2>0\Leftrightarrow\dfrac{3}{n+2}>0\Leftrightarrow2-\dfrac{3}{n+2}< 2\Leftrightarrow u_n< 2\)
Vậy \(\left(u_n\right)\) bị chặn trên.
\(n\ge1\Leftrightarrow n+2\ge3\Leftrightarrow\dfrac{3}{n+2}\le1\Leftrightarrow2-\dfrac{3}{n+2}\ge1\Leftrightarrow u_n\ge1\)
Vậy \(\left(u_n\right)\) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)