Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

Gọi M, N lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto \(\overrightarrow a \).

Từ B, M, N ta dựng hình bình hành BMNC.

Khi đó: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {BC} \) hay \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {BC} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow a  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

a) Vì  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a  = \overrightarrow {BC} \) nên A, B, C thẳng hàng và B là trung điểm của AC.

Vậy \(\overrightarrow a  + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\)

b) Ta có:  \(\overrightarrow a  + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\)

Mà \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a \) nên:  \(\overrightarrow a  + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow a } \right|\).

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Ta có: Vecto \(1\;.\overrightarrow a \) cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) và  \(\left| {1\;.\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|\).

Vậy hai vecto \(1\;.\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) bằng nhau.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Dễ thấy:

Vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \)có cùng giá nên chúng cùng phương.

Mà vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \)cùng nằm trên tia OM nên chúng cùng chiều

Vậy vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \)cùng hướng.

Ngoài ra, \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM = \sqrt 2 \) và \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = OA = 1\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt 2 .\left| {\overrightarrow {OA} } \right|\)

Ta kết luận \(\overrightarrow {OM}  = \sqrt 2 .\overrightarrow {OA} \).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vecto \( - \;\overrightarrow a \) là vecto đối của vecto \(\overrightarrow a \)

\( \Rightarrow  - \;\overrightarrow a \) ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) và \(\left| { - \;\overrightarrow a \;} \right| = \left| {\;\overrightarrow a \;} \right|\)

Lại có:

Vecto  \( - 1\;.\overrightarrow a \) là vecto ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) và có độ đài bằng \(\left| { - 1} \right|\;.\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|\).

\( \Rightarrow  - \;\overrightarrow a \) và \( - 1\;\overrightarrow a \) cùng hướng và có độ dài bằng nhau (bằng vecto\(\;\overrightarrow a \)).

Hay \( - \;\overrightarrow a  =  - 1\;\overrightarrow a \)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi hai vecto \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương (cùng giá d)

Khi và chỉ khi tồn tại số t để \(\overrightarrow {AM}  = t.\overrightarrow {AB} \).

Vậy khẳng định a) đúng.

 

b) Với điểm M bất kì, ta luôn có \(\overrightarrow {AM}  = \frac{{AM}}{{AB}}.\overrightarrow {AB} \)

Sai vì \(\overrightarrow {AM}  = \frac{{AM}}{{AB}}.\overrightarrow {AB} \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng.

 

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB, tức là A nằm giữa M và B.

Khi và chỉ khi hai vecto \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AB} \) ngược hướng

\( \Leftrightarrow \) tồn tại số \(t \le 0\) để \(\overrightarrow {AM}  = t.\overrightarrow {AB} \)

Vậy khẳng định c) đúng.

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

a) Hai vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\) và \(\left( {kt} \right)\overrightarrow u \) có cùng độ dài bằng \(\left| {kt} \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|\)

Ta có: \(\left| {t\overrightarrow u } \right| = \left| t \right|\left| {\overrightarrow u } \right| \Rightarrow \left| {k\left( {t\overrightarrow u } \right)} \right| = \left| k \right|\left| {\left( {t\overrightarrow u } \right)} \right| = \left| k \right|.\left| t \right|\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {kt} \right|\left| {\overrightarrow u } \right|\)

Và \(\left| {\left( {kt} \right)\overrightarrow u } \right| = \left| {kt} \right|\left| {\overrightarrow u } \right|\)

\( \Rightarrow \left| {k\left( {t\overrightarrow u } \right)} \right| = \left| {\left( {kt} \right)\overrightarrow u } \right| = \left| {kt} \right|\left| {\overrightarrow u } \right|\)

b) Nếu \(kt \ge 0\) thì cả hai vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\), \(\left( {kt} \right)\overrightarrow u \) cùng hướng với \(\overrightarrow u \)

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: \(k \ge 0,t \ge 0\)

Vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\) cùng hướng với vecto \(t\overrightarrow u \) (vì \(k \ge 0\) ), mà vecto \(t\overrightarrow u \) cùng hướng với vecto \(\overrightarrow u \) (vì \(t \ge 0\) )

Do đó vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\) cùng hướng với vecto \(\overrightarrow u \).

Trường hợp 2: \(k < 0,t < 0\)

Vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\) ngược hướng với vecto \(t\overrightarrow u \) (vì \(k < 0\) ), mà vecto \(t\overrightarrow u \) ngược hướng với vecto \(\overrightarrow u \) (vì \(t < 0\) )

Do đó vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\) cùng hướng với vecto \(\overrightarrow u \).

Vậy vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\) luôn cùng hướng với vecto \(\overrightarrow u \) nếu \(kt \ge 0\).

Lại có: \(kt \ge 0\) nên \(\left( {kt} \right)\overrightarrow u \) cùng hướng với \(\overrightarrow u \)

Vậy \(kt \ge 0\) thì cả hai vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\), \(\left( {kt} \right)\overrightarrow u \) cùng hướng với \(\overrightarrow u \)

c) Nếu \(kt < 0\) thì cả hai vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\), \(\left( {kt} \right)\overrightarrow u \) ngược hướng với \(\overrightarrow u \)

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: \(k > 0,t < 0\)

Vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\) cùng hướng với vecto \(t\overrightarrow u \) (vì \(k > 0\) ), mà vecto \(t\overrightarrow u \) ngược hướng với vecto \(\overrightarrow u \) (vì \(t < 0\))

Do đó vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\) ngược hướng với vecto \(\overrightarrow u \).

Trường hợp 2: \(k < 0,t > 0\)

Vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\) ngược hướng với vecto \(t\overrightarrow u \) (vì \(k < 0\) ), mà vecto \(t\overrightarrow u \) cùng hướng với vecto \(\overrightarrow u \) (vì \(t > 0\))

Do đó vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\) ngược hướng với vecto \(\overrightarrow u \).

Vậy vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\) luôn ngược hướng với vecto \(\overrightarrow u \) nếu \(kt < 0\).

Lại có: \(kt < 0\) nên \(\left( {kt} \right)\overrightarrow u \) ngược hướng với \(\overrightarrow u \)

Vậy \(kt < 0\) thì cả hai vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\), \(\left( {kt} \right)\overrightarrow u \) ngược hướng với \(\overrightarrow u \)

d)

Từ ý b) và c), ra suy ra hai vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\) và \(\left( {kt} \right)\overrightarrow u \)luôn cùng hướng.

Theo câu a) ta có: \(\left| {k\left( {t\overrightarrow u } \right)} \right| = \left| {\left( {kt} \right)\overrightarrow u } \right| = \left| {kt} \right|\left| {\overrightarrow u } \right|\)

\( \Rightarrow \)  Hai vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\) và \(\left( {kt} \right)\overrightarrow u \) bằng nhau

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

 

Kí hiệu O, E, F là các điểm như trên hình vẽ.

Dễ thấy: tứ giác OEMF là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OE}  + \overrightarrow {OF}  = \overrightarrow {OM} \) hay \(\overrightarrow v  + \overrightarrow u  = \overrightarrow {OM} \)

Và \(\overrightarrow {OC}  = 3.\overrightarrow {OM}  \Rightarrow 3\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow u } \right) = 3.\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OC} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {OA}  = 3.\overrightarrow {OF}  = 3\;\overrightarrow u ;\;\overrightarrow {OB}  = 3.\overrightarrow {OE}  = 3\;\overrightarrow v \)

Và \(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OC} \) hay \(3\;\overrightarrow v  + 3\;\overrightarrow u  = \overrightarrow {OC} \)

\( \Rightarrow 3\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow u } \right) = 3\;\overrightarrow v  + 3\;\overrightarrow u \)

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GA} \); \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GB} \); \(\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GC} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right)\end{array}\)

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} \end{array}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Bước 1: Dựng hình bình hành có cạnh song song với giá của vecto \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) và đường chéo là vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \).

Ta dựng được hình hình hành ABCD và DEGH. Trong đó:  DC và DE nằm trên giá của vecto \(\overrightarrow a \), DA và DH nằm trên giá của vecto \(\overrightarrow b \), còn vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) lần lượt là hai dường chéo.

Dễ thấy: \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} ,\;\overrightarrow v  = \overrightarrow {DH}  + \overrightarrow {DE} \)

Mà \(\overrightarrow {DA}  = 3\overrightarrow b ,\;\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow a \;,\;\overrightarrow {DH}  = 3\overrightarrow b ,\;\overrightarrow {DE}  =  - 2\overrightarrow a .\)

\( \Rightarrow \overrightarrow u  = 2\overrightarrow b  + \overrightarrow a ,\;\,\overrightarrow v  = 3\overrightarrow b  - 2\overrightarrow a \)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD tại E.

Khi đó tứ giác ABME là hình bình hành.

Do đó: \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AE} \).

Dễ thấy: \(AE = BM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AE}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)

Vậy \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)

Chú ý khi giải

+) Dựng hình hình hành sao cho đường chéo là vecto cần biểu thị, 2 cạnh của nó song song với giá của hai vecto đang biểu thị theo.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)