Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {CN} } \right) + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \end{array}\)

Lại có: 

\(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} .\)

Vậy \(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {MN}  = \;\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} .\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a)

Cách 1:

Ta có: \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0 \).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {KA}  =  - 2\overrightarrow {KB} \)

Suy ra vecto \(\overrightarrow {KA} \) và vecto\(\;\overrightarrow {KB} \) cùng phương, ngược chiều và \(KA = 2.KB\)

\( \Rightarrow K,A,B\)thẳng hàng, K nằm giữa A và B thỏa mãn: \(KA = 2.KB\)

Cách 2:

Ta có: \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0 \).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {BA} } \right) + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3.\overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3.\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow {AB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {KB}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \end{array}\)

Vậy K thuộc đoạn AB sao cho \(KB = \frac{1}{3}AB\).

b)

Với O bất kì, ta có:

\(\frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {KA} } \right) + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {KB} } \right) = \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {OK}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OK} } \right) + \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {KA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {KB} } \right) = \overrightarrow {OK}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB} } \right) = \overrightarrow {OK}\)

Vì \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0 \)

Vậy với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OK}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} .\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

a) Ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E sao cho \(AD = \frac{1}{4}AB;\;\,AE = \frac{1}{2}AC\)

 

Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AE} \) hay M là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEMD.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OM} \)

Với mọi điểm O, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MA} ;\;\\\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} ;\;\,\\\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MC} \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MC} } \right)\\ = 4\overrightarrow {OM}  + \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right) = 4\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow 0  = 4\overrightarrow {OM} .\end{array}\)

Vậy với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OM} \).

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

Bước 1: Đặt \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}} \). Ta xác định các điểm như hình dưới.

 

Dễ dàng xác định điểm C, là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD. Do đó vecto \(\overrightarrow u \) chính là vecto \(\overrightarrow {AC} \)

Vì chất điểm A ở trang thái cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  + \;\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow 0 \) hay \(\;\overrightarrow u  + \;\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \;\overrightarrow u \) và \(\;\overrightarrow {{F_3}} \) là hai vecto đối nhau.

\( \Leftrightarrow A\) là trung điểm của EC.

Bước 2:

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = AD = 20,\;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = AB,\;\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = AC.\)

Do A, C, E thẳng hàng nên \(\widehat {CAB} = {180^o} - \widehat {EAB} = {60^o}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {CAD} = {90^o} - {60^o} = {30^o}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \frac{{AD}}{{\cos {{30}^o}}} = \frac{{40\sqrt 3 }}{3};\;\\AB = DC = AC.\sin {30^o} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \frac{{20\sqrt 3 }}{3},\;\;\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}.\)

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)