Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ của điểm D là (x; y; z), tọa độ của D’ là \(\left( {x'y'z'} \right)\), khi đó \(\overrightarrow {AD} \left( {x - 1;y;z - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {A'D'} \left( {x - 5;y;z - 1} \right)\).

Để ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì ABCD là hình bình hành.

Do đó, \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 4\\y =  - 5\\z - 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y =  - 5\\z = 6\end{array} \right.\). Suy ra \(D\left( {5; - 5;6} \right)\)

Để ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì A’B’C’D’ là hình bình hành.

Do đó, \(\overrightarrow {A'D'}  = \overrightarrow {B'C'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 = 4\\y =  - 5\\z - 1 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y =  - 5\\z = 5\end{array} \right.\). Suy ra \(D'\left( {9; - 5;5} \right)\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:

\(890.\frac{1}{2} = 445\left( {km} \right)\)

Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn là (0; 445; 0).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Cả 4 câu đều đúng.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Hình vẽ phù hợp với mô tả:

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right) = \left( {4;2; - 5} \right)\)

b) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right) = \left( {0;0;0} \right)\)

c) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right) = \left( { - 10;3; - 7} \right)\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) A trùng với gốc tọa độ nên A(0; 0; 0).

b) Vì A nằm trên tia Ox và \(OA = 2\) nên \(\overrightarrow {OA}  = 2\overrightarrow i \). Do đó, A(2; 0; 0).

c) Vì A nằm trên tia đối của tia Oy và \(OA = 3\) nên \(\overrightarrow {OA}  =  - 3\overrightarrow j \). Do đó, \(A\left( {0; - 3;0} \right)\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Vì A trùng gốc O nên A(0; 0; 0).

Vì D thuộc tia Ox nên hai vectơ \(\overrightarrow {OD} \) và \(\overrightarrow i \) cùng hướng. Do đó, tồn tại số thực m sao cho \(\overrightarrow {OD}  = m\overrightarrow i \). Mà D(2; 0; 0) nên \(m = 2\).

Vì B thuộc tia Oy nên hai vectơ \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow j \) cùng hướng. Do đó, tồn tại số thực n sao cho \(\overrightarrow {OB}  = n\overrightarrow j \). Mà B(0; 4; 0) nên \(n = 4\)

Vì A’ thuộc tia Oz nên hai vectơ \(\overrightarrow {OA'} \) và \(\overrightarrow k \) cùng hướng. Do đó, tồn tại số thực p sao cho \(\overrightarrow {OA'}  = p\overrightarrow k \). Mà A’(0; 0; 3) nên \(p = 3\).

Vì ODCB là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OB}  = m\overrightarrow i  + n\overrightarrow j  = 2\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j \). Do đó, C(2; 4; 0).

Vì OA’B’B là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OB'}  = \overrightarrow {OA'}  + \overrightarrow {OB}  = p\overrightarrow k  + n\overrightarrow j  = 3\overrightarrow k  + 4\overrightarrow j \). Do đó, B’(0; 4; 3).

Vì OA’D’D là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OD'}  = \overrightarrow {OA'}  + \overrightarrow {OD}  = m\overrightarrow i  + p\overrightarrow k  = 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow k \). Do đó, D’(2; 0; 3).

Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên theo quy tắc hình hộp ta có:

\(\overrightarrow {OC'}  = \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA'}  = m\overrightarrow i  + n\overrightarrow j  + p\overrightarrow k  = 2\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j  + 3\overrightarrow k \). Do đó, C’(2; 4; 3).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: O(0; 0; 0)

Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên AOBC là hình bình hành. Do đó:\(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {CB}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = {x_B} - {x_C}\\{y_A} = {y_B} - {y_C}\\{z_A} = {z_B} - {z_C}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = {x_A} - {x_B} = 1\\{y_C} = {y_A} - {y_B} =  - 2\\{z_C} = {z_A} - {z_B} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1; - 2; - 1} \right)\)

b) Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên

\(\overrightarrow {OO'}  = \overrightarrow {CC'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{O'}} = {x_{C'}} - {x_C} = 1\\{y_{O'}} = {y_{C'}} - {y_C} =  - 1\\{z_{O'}} = {z_{C'}} - {z_C} = 7\end{array} \right. \Rightarrow O'\left( {1; - 1;7} \right)\)

\(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {CC'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} - {x_A} = {x_{C'}} - {x_C} = 1\\{y_{A'}} - {y_A} = {y_{C'}} - {y_C} =  - 1\\{z_{A'}} - {z_A} = {z_{C'}} - {z_C} = 7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2\\{y_{A'}} = 0\\{z_{A'}} = 6\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {2;0;6} \right)\)

\(\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - {x_B} = \left( {{x_{C'}} - {x_C}} \right) = 1\\{y_{B'}} - {y_B} = \left( {{y_{C'}} - {y_C}} \right) =  - 1\\{z_{B'}} - {z_B} = \left( {{z_{C'}} - {z_C}} \right) = 7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = 1\\{y_{B'}} = 2\\{z_{B'}} = 7\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {1;2;7} \right)\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Khi máy bay di chuyển trên đường băng, tức là máy bay di chuyển ở trên mặt đất, tức là thuộc mặt phẳng (Oxy). Do đó, máy bay khi di chuyển trên đường băng thì tọa độ của nó luôn có dạng (x; y; 0) với x, y là hai số thực nào đó.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)