Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH (h.24)
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng ?
\(\dfrac{DG}{DH}=\dfrac{1}{2};\dfrac{DG}{GH}=3\)
\(\dfrac{GH}{DH}=\dfrac{1}{3};\dfrac{GH}{DG}=\dfrac{2}{3}\)
Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH (h.24)
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng ?
\(\dfrac{DG}{DH}=\dfrac{1}{2};\dfrac{DG}{GH}=3\)
\(\dfrac{GH}{DH}=\dfrac{1}{3};\dfrac{GH}{DG}=\dfrac{2}{3}\)
Cho hình 25.
Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau
a) MG = .......MR; GR = ....MR; GR = .... MG
b) NS =........NG; NS = ........GS; NG = ......GS
Thảo luận (2)Hướng dẫn giảiTừ hình vẽ ta thấy: S, R là hai trung điểm của hai đoạn thẳng trong tam giác nên NS và MR là hai đường trung tuyến.
G là giao của hai đường trung tuyến nên G là trọng tâm của ΔMNS, do đó ta có thể điền:
(Trả lời bởi Tuyết Nhi Melody)
Biết rằng : Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Hãy giải bài toán sau:
Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải∆ABC vuông tại A => BC2 = AB2 + AC2
BC2 = 32 + 42
BC2 = 25
BC = 5
Gọi M là trung điểm của BC => AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên AM = BC
Vì G là trọng tâm của ∆ ABC nên AG = AM => AG =. BC
=> AG = BC = .5 = 1.7cm
(Trả lời bởi Tuyết Nhi Melody)
Chứng minh định lí : Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGiả sử ∆ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta chứng minh BM = CN
Vì ∆ ABC cân tại A=> AB = AC mà M, N là trung điểm AC, AB nên CM = BN
Do đó ∆CMB ;∆BNC có:
BC chung
CM = BN (cm trên)
AB = AC (∆ABC cân)
=> BM = CN
(Trả lời bởi Tuyết Nhi Melody)
Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên : Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGiả sử ∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN gặp nhau ở G
=> G là trọng tâm của tam giác
=> GB = BM; GC = CN
mà BM = CN (giả thiết) nên GB = GC
=> ∆GBC cân tại G =>
do đó ∆BCN = ∆CBM vì:
BC là cạnh chung
CN = BM (gt)
(cmt)
=> => ∆ABC cân tại A
(Trả lời bởi Tuyết Nhi Melody)
Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI
a) Chứng minh \(\Delta DEI=\Delta DFI\)
b) Cho biết số đo của hai góc DIE và DIF
c) Biết DE = DF = 13 cm, EF = 10 cm. Hãy tính độ dài đường trung tuyến DI ?
Thảo luận (2)Hướng dẫn giảia) ∆DEI = ∆DFI có:
DI là cạnh chung
DE = DF ( ∆DEF cân)
IE = IF (DI là trung tuyến)
=> ∆DEI = ∆DFI (c.c.c)
b) Vì ∆DEI = ∆DFI =>
mà = 1800 ( kề bù)
nên = 900
c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = 5cm
∆DEI vuông tại I => DI2 = DE2 – EI2 (định lí pytago)
=> DI2 = 132 – 52 = 144
=> DI = 12
(Trả lời bởi Tuyết Nhi Melody)
Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng :
\(GA=GB=GC\)
Hướng dẫn : Áp dụng định lí ở bài tập 26 - Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau
Thảo luận (2)Hướng dẫn giảiướng dẫn:
Gọi M, N, E là giao điểm của AG, BG, CG với BC, CA, AB.
Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên
GA = 2323AM; GB = 2323BN; GC = 2323CE (1)
Vì ∆ABC đều nên ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau
=> AM = BN = CE (2)
Từ (1), (2) => GA = GB = GC
(Trả lời bởi Thien Tu Borum)
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G' sao cho G là trung điểm của AG'
a) So sánh các cạnh của tam giác BGG' với các đường trung tuyến của tam giác ABC
b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG' với các cạnh của tam giác ABC
Thảo luận (3)Hướng dẫn giảiHướng dẫn:
a) So sánh các cạnh của ∆BGG’ với các đường trung tuyến của ∆ABC BG cắt AC tại N
CG cắt AB tại E
G là trọng tâm của ∆ABC
=> GA =
AM
Mà GA = GG’ ( G là trung điểm của AG ‘)
GG’ =
AM
Vì G là trọng tâm của ∆ABC => GB =
BN
Mặt khác : GM =
AG ( G là trọng tâm )
AG = GG’ (gt)
GM =
GG’
M là trung điểm GG’
Do đó ∆GMC = ∆G’MB vì :
GM = MG’
MB = MC
=> BG' = CG
mà CG =
CE (G là trọng tâm ∆ABC)
=> BG' =
CE
Vậy mỗi cạnh của ∆BGG' bằng
đường trung tuyến của ∆ABC
b) So sánh các đường trung tuyến của ∆BGG' với cạnh ∆ABC
ta có: BM là đường trung tuyến ∆BGG'
mà M là trung điểm của BC nên BM =
BC
Vì IG =
BG (I là trung điểm BG)
GN =
BG ( G là trọng tâm)
=> IG = GN
Do đó ∆IGG' = ∆NGA (cgc) => IG' = AN => IG' =
- Gọi K là trung điểm BG => GK là trung tuyến ∆BGG'
Vì GE =
GC (G là trọng tâm ∆ABC)
=> GE =
BG
mà K là trung điểm BG' => KG' = EG
Vì ∆GMC = ∆G'BM (chứng minh trên)
=>
(lại góc sole trong)
=> CE // BG' =>
(đồng vị)
Do đó ∆AGE = ∆GG'K (cgc) => AE = GK
mà AE =
AB nên GK =
AB
Vậy mỗi đường trung tuyến ∆BGG' bằng một nửa cạnh của tam giác ABC song song với nó
(Trả lời bởi Thien Tu Borum)
Cho hình 7.
Điền vào chỗ trống :
\(GK=.....CK;AG=.....GM;GK=.....CG;AM=......AG;AM=.....GM\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi Δ ABC có trung tuyến BM = CN, G là trọng tâm Δ (giao điểm các trung tuyến)
(Trả lời bởi Thien Tu Borum)
Ta có :
GB = 2/3.BM
GC = 2/3.CN
Mà BM = CN => GB = GC
=> Δ BGC cân tại G
=> ∠ MBC = ∠ NCB
Xét Δ BMC và Δ CNB :
BM = CN
∠ MBC = ∠ NCB
BC là cạnh chung
=> Δ BMC = Δ CNB (c - g - c)
=> ∠ MCB = ∠ NBC
hay ∠ ACB = ∠ ABC
=> Δ ABC cân tại A (đpcm)