Bài 30. Đa giác đều

Hướng dẫn giải

Vì đa giác ABCDE nội tiếp đường tròn (O) nên \(OA = OB = OC = OD = OE\).

Theo giả thiết: \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOA} = {72^o}\)

Do đó, \(\Delta EOA = \Delta EOD = \Delta COD = \Delta COB = \Delta AOB\left( {c.g.c} \right)\).

Suy ra:

+) \(AE = ED = DC = CB = BA\)

+) \(\widehat {OAE} = \widehat {OEA} = \widehat {ODE} = \widehat {OED} = \widehat {ODC} = \widehat {OCD} = \widehat {OCB} = \widehat {OBC} = \widehat {OBA} = \widehat {OAB}\)

Do đó, \(\widehat {OAE} + \widehat {OAB} = \widehat {OEA} + \widehat {OED} = \widehat {ODE} + \widehat {ODC} = \widehat {OCD} + \widehat {OCB} = \widehat {OBC} + \widehat {OBA}\)

Suy ra: \(\widehat {BAE} = \widehat {AED} = \widehat {EDC} = \widehat {DCB} = \widehat {CBA}\).

Vậy các cạnh và các góc của đa giác ABCDE bằng nhau.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Vì ABCDEF là lục giác đều \(AB = BC = CD = DE = EF = FA\).

Mà lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) nên \(OA = OB = OC = OD = OE = OF\).

Do đó, \(\Delta AOF = \Delta EOF = \Delta EOD = \Delta COD = \Delta COB = \Delta AOB\left( {c.c.c} \right)\)

Do đó,

+) \(\widehat {FOA}\)\( = \widehat {AOB}\)\( = \widehat {BOC}\)\( = \widehat {COD}\)\( = \widehat {DOE}\)\( = \widehat {EOF}\)\( = \frac{{{{360}^o}}}{6}\)\( = {60^o}\)

+) \(\widehat {OAF}\)\( = \widehat {OFA}\)\( = \widehat {OEF}\)\( = \widehat {OFE}\)\( = \widehat {ODE}\)\( = \widehat {OED}\)\( = \widehat {ODC}\)\( = \widehat {OCD}\)\( = \widehat {OCB}\)\( = \widehat {OBC}\)\( = \widehat {OBA}\)\( = \widehat {OAB}\)

Tam giác AOB có: \(OA = OB,\widehat {AOB} = {60^o}\) nên tam giác OAB đều.

Do đó, \(OA = AB = 2cm\) và \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = {60^o}\)

Suy ra:

\(\widehat {OAF} + \widehat {OAB}\)\( = \widehat {OFA} + \widehat {OFE}\)\( = \widehat {OEF} + \widehat {OED}\)\( = \widehat {ODE} + \widehat {ODC}\)\( = \widehat {OCD} + \widehat {OCB}\)\( = \widehat {OBC} + \widehat {OBA}\)\( = {60^o} + {60^o}\)\( = {120^o}\)

Do đó: \(\widehat {FAB} = \widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {DEF} = \widehat {EFA} = {120^o}\)

Vậy lục giác đều ABCDEF nội tiếp (O) bán kính 2cm có độ dài cạnh bằng 2cm và số đo các góc lục giác đều bằng \({120^o}\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Vì ABCDE là ngũ giác đều nên \(AB = BC = CD = DE = EA\), \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = \widehat E\)

Vì M, N, P, Q, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EA.

Do đó, \(AM = MB = NB = NC = CP = PD = DQ = QE = EK = KA\)

Ta có: \(AM = MB = NB = NC = CP = PD = DQ = QE = EK = KA\) và \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = \widehat E\)

Suy ra: \(\Delta AMK = \Delta BMN = \Delta CPN = \Delta DPQ = \Delta EKQ\left( {c.g.c} \right)\)

Do đó: + \(KM = MN = PN = PQ = QK\left( 1 \right)\).

+ \(\widehat {KMA} = \widehat {AKM} = \widehat {BMN} = \widehat {MNB} = \widehat {CNP} = \widehat {CPN} = \widehat {DPQ} = \widehat {DQP} = \widehat {EQK} = \widehat {EKQ}\)

Ta có: \(\widehat {KMA} + \widehat {KMN} + \widehat {BMN} = {180^o}\) (các góc kề bù)

Mà \(\widehat {KMA} = \widehat {BMN}\) nên \(\widehat {KMN} = {180^o} - 2\widehat {KMA}\).

Vì \(\widehat {BNM} + \widehat {MNP} + \widehat {PNC} = {180^o}\) (các góc kề bù)

Mà \(\widehat {KMA} = \widehat {BNM} = \widehat {PNC}\) nên \(\widehat {MNP} = {180^o} - 2\widehat {KMA}\).

Chứng minh tương tự ta có:

\(\widehat {NPQ} = \widehat {PQK} = \widehat {QKM} = {180^o} - 2\widehat {KMA}\)

Do đó, \(\widehat {KMN} = \widehat {MNP} = \widehat {NPQ} = \widehat {PQK} = \widehat {QKM}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: MNPQK là ngũ giác đều.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Gọi ABCDEFGH là bát giác đều nội tiếp đường tròn (O).

Vì ABCDEFGH là bát giác đều nên \(AB = BC = CD = DE = EF = FG = GH = HA\).

Vì ABCDEFGH là bát giác đều nội tiếp (O) nên \(OA = OB = OC = OD = OE = OF = OH = OG\).

Do đó, \(\Delta AOH = \Delta GOH = \Delta GOF = \Delta EOF = \Delta EOD = \Delta COD = \Delta COB = \Delta AOB\left( {c.c.c} \right)\)

Suy ra: \(\widehat {HOA} = \widehat {HOG} = \widehat {GOF} = \widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOF} = \frac{{{{360}^o}}}{8} = {45^o}\)

Tam giác AOB cân tại O (do \(OA = OB\)) nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\).Do đó, \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = \frac{{{{180}^o} - \widehat {AOB}}}{2} = 67,{5^o}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\widehat {OBC} = \widehat {OCB} = \widehat {ODE} = \widehat {OED} = \widehat {OEF} = \widehat {OFE} = \widehat {OFG} = \widehat {OGF} = \widehat {OGH} = \widehat {OHG} = \widehat {OHA} = \widehat {OAH} = 67,{5^o}\)

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {DEF} = \widehat {EFG} = \widehat {FGH} = \widehat {GHA} = {135^o}\).

Vậy mỗi góc của bát giác đều bằng \({135^o}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ hai điểm A và B đến O bằng nhau. Hai điểm A, B cùng nằm trên một đường tròn, có bán kính \(OA = OB\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Khi quay bàn xoay thuận chiều kim đồng hồ để tia OA di chuyển trùng với tia OB (ở vị trí ban đầu), thì điểm A có di chuyển đến điểm B và sẽ di chuyển trên cung AB, điểm C di chuyển đến điểm A.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Phép quay ngược chiều 180° tâm O biến điểm A thành điểm A’.

Khi đó A’ thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia OA’, điểm A tạo nên cung AA’ có số đo 180°.

Suy ra OA’ = OA và  hay ba điểm A, O, A’ thẳng hàng.

Vậy O là trung điểm của AA’ hay điểm A’ có đối xứng với điểm A qua O.

b) Phép quay thuận chiều α° tâm O biến điểm A thành điểm B.

Khi đó điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OB, điểm A tạo nên cung AB có số đo α°.

Suy ra OB = OA và 

Do đó điểm A thuộc đường tròn (O; OB) và tia OB quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia OA, điểm B tạo nên cung BA có số đo α°.

Vậy phép quay ngược chiều α° tâm O có biến điểm B thành điểm A.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Phép quay thuận chiều 90° với tâm O biến các điểm A, B, C, D thành các điểm tương ứng là B, C, D, A.

Phép quay này giữ nguyên hình vuông ABCD.

b) Ta có ba phép quay tâm O theo chiều kim đồng hồ giữ nguyên hình vuông ABCD:

⦁ Phép quay thuận chiều 180° tâm O;

⦁ Phép quay thuận chiều 270° tâm O;

⦁ Phép quay thuận chiều 360° tâm O.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

HS thực hiện theo hướng dẫn của GV và SGK.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

6 phép quay giữ nguyên một lục giác đều nội tiếp một đường tròn (O) là: 6 phép quay thuận chiều kim đồng hồ góc \({\alpha ^o}\) tâm O với \({\alpha ^o}\) lần lượt nhận các giá trị \({60^o};{120^o};{180^o};{240^o};{300^o};{360^o}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)