Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng c, d đi qua M lần lượt tiếp xúc với (O) tại A, B. Tia phân giác của góc MAB cắt MO tại I. Chứng minh điểm I cách đều ba đường thẳng MA, MB và AB.
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng c, d đi qua M lần lượt tiếp xúc với (O) tại A, B. Tia phân giác của góc MAB cắt MO tại I. Chứng minh điểm I cách đều ba đường thẳng MA, MB và AB.
Một người quan sát đặt mắt ở vị trí A có độ cao cách mực nước biển là AB = 5 m. Cắt bề mặt Trái Đất bởi một mặt phẳng đi qua điểm A và tâm Trái Đất thì phần chung giữa chúng là một đường tròn lớn tâm O. Tầm quan sát tối đa từ vị trí A là đoạn thẳng AC, trong đó C là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A với đường tròn (O) (minh họa như Hình 42). Tính độ dài của đoạn thẳng AC (theo đơn vị kilômét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười), biết bán kính Trái Đất là OB = OC ≈ 6 400 km.
(Nguồn: Toán 9 – Tập một, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(AO = AB + BO \approx \frac{5}{{1000}} + 6400 \approx 6400,005\left( {km} \right)\).
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \(AOC\) vuông tại \(C\) có:
\(\begin{array}{l}A{C^2} + O{C^2} = A{O^2} \Rightarrow A{C^2} = A{O^2} - O{C^2} \approx 6400,{005^2} - {6400^2} \approx 64,000025\\ \Rightarrow AC \approx 8\left( {km} \right).\end{array}\)
(Trả lời bởi datcoder)
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và các đường thẳng m, n, p lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại A, B, C (Hình 43).
Chứng minh:
a) AD + BE = DE;
b) \(\widehat{COD}=\dfrac{1}{2}\widehat{COA}\) và \(\widehat{COE}=\dfrac{1}{2}\widehat{COB}\);
c) Tam giác ODE vuông;
d) \(\dfrac{OD.OE}{DE}=R\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Do \(DC,DA\) cùng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(DA = DC\).
Do \(EC,EB\) cùng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(CE = BE\).
Lại có: \(DC + CE = DE\) suy ra \(DA + EB = DE\).
b) Do \(DC,DA\) cùng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(OD\) là tia phân giác của góc \(COA\).
Suy ra \(\widehat {COD} = \frac{1}{2}\widehat {COA}\).
Do \(EC,EB\) cùng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(OE\) là tia phân giác của góc \(COB\).
Suy ra \(\widehat {COE} = \frac{1}{2}\widehat {COB}\).
c) Ta có: \(\widehat {COA} + \widehat {COB} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).
Suy ra \(\frac{1}{2}\left( {\widehat {COA} + \widehat {COB}} \right) = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \Rightarrow \frac{1}{2}\widehat {COA} + \frac{1}{2}\widehat {COB} = 90^\circ .\)
Mà \(\widehat {COD} = \frac{1}{2}\widehat {COA}\),\(\widehat {COE} = \frac{1}{2}\widehat {COB}\) nên \(\widehat {COD} + \widehat {COE} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DOE} = 90^\circ \).
Vậy tam giác \(ODE\) vuông tại \(O\).
d) Vì \(DE\) là tiếp tuyến của \((O)\) nên \(DE \perp CO\)
\(\Rightarrow \widehat{DCO} = 90^\circ\)
Xét \(\Delta ODE\) và \(\Delta CDO\) có:
\(\widehat{DOE} = \widehat{DCO} = 90^\circ\)
\(\widehat{ODE}\) (góc chung)
\(\Rightarrow \Delta ODE \backsim \Delta CDO\) (g.g)
\(\Rightarrow \frac{OE}{OC} = \frac{DE}{OD}\)
\(\Rightarrow OE \cdot OD = DE \cdot OC\)
\(\Rightarrow OE \cdot OD = R\) (đpcm)
(Trả lời bởi datcoder)