Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2; – 1; 1), B(1; – 1; 2) và C(3; 0; 2). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.
Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
Luyện tập 3 (SGK Cánh Diều - Tập 1 - Trang 77)
Thảo luận (1)
Hoạt động 3 (SGK Cánh Diều - Tập 1 - Trang 76)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ overrightarrow{u}left(x_1;y_1;z_1right),overrightarrow{v}left(x_2;y_2;z_2right).Hãy biểu diễn các vectơ overrightarrow{u},overrightarrow{v} theo ba vectơ đơn vị overrightarrow{i},overrightarrow{j},overrightarrow{k} và tính tích vô hướng overrightarrow{u}.overrightarrow{v}.
Đọc tiếp
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ \(\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right),\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right).\)
Hãy biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) theo ba vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\) và tính tích vô hướng \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\overrightarrow u = ({x_1};{y_1};{z_1}) = {x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j + {z_1}\overrightarrow k \)
\(\overrightarrow v = ({x_2};{y_2};{z_2}) = {x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j + {z_2}\overrightarrow k \)
Ta có: \({\overrightarrow i ^2} = \overrightarrow i .\overrightarrow i = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow i |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow i ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\({\overrightarrow j ^2} = \overrightarrow j .\overrightarrow j = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\({\overrightarrow k ^2} = \overrightarrow k .\overrightarrow k = |\overrightarrow k |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow k ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\(\overrightarrow i .\overrightarrow j = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
\(\overrightarrow j .\overrightarrow k = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
\(\overrightarrow i .\overrightarrow k = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
Vậy: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = ({x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j + {z_1}\overrightarrow k ).({x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j + {z_2}\overrightarrow k )\)
\( = {x_1}{x_2}{\overrightarrow i ^2} + {x_1}{y_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j + {x_1}{z_2}\overrightarrow i .\overrightarrow k + {y_1}{x_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j + {y_1}{y_2}{\overrightarrow j ^2} + {y_1}{z_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k + {z_1}{x_2}\overrightarrow i .\overrightarrow k + {z_1}{y_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k + {z_1}{z_2}{\overrightarrow k ^2}\)
\( = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Luyện tập 2 (SGK Cánh Diều - Tập 1 - Trang 76)
Cho ba điểm A(0; – 1; 1), B(1; 0; 5), G(1; 2; 0).
a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, G không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (1;1;4)\), \(\overrightarrow {AG} = (1;3; - 1)\).
Vì \(\frac{1}{1} \ne \frac{1}{3} \ne \frac{4}{{ - 1}}\) nên không có giá trị k nào để \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AG} \), do đó \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AG} \) không cùng phương.
Vậy A, B, G không thẳng hàng.
b) G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{0 + 1 + {x_C}}}{3}\\2 = \frac{{ - 1 + 0 + {y_C}}}{3}\\0 = \frac{{1 + 5 + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2\\{y_C} = 7\\{z_C} = - 6\end{array} \right.\)
Vậy C(2;7;-6).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Hoạt động 2 (SGK Cánh Diều - Tập 1 - Trang 75)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB). Gọi M(xM; yM; zM) là trung điểm của đoạn thẳng AB.- Biểu diễn vectơ overrightarrow{OM} theo hai vectơ overrightarrow{OA} và overrightarrow{OB}.- Tính tọa độ của điểm M theo tọa độ của các điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB).b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm G.- Biểu diễn vectơ overrightarrow{OG} theo ba vectơ overrightarrow{OA},overrightarrow{OB},overrightarrow{OC}.- Tính tọa độ...
Đọc tiếp
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB). Gọi M(xM; yM; zM) là trung điểm của đoạn thẳng AB.
- Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{OM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}\).
- Tính tọa độ của điểm M theo tọa độ của các điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB).
b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm G.
- Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{OG}\) theo ba vectơ \(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}.\)
- Tính tọa độ của điểm G theo tọa độ của các điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB), C(xC; yC; zC).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {OM} = (\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2})\).
Tọa độ của điểm M là: \(M(\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2})\).
b) G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {OG} = (\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3})\).
Tọa độ điểm G là: \(G(\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3})\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Luyện tập 1 (SGK Cánh Diều - Tập 1 - Trang 75)
a) Cho \(\overrightarrow{u}=\left(-2;0;1\right),\overrightarrow{v}=\left(0;6;-2\right),\overrightarrow{w}=\left(-2;3;2\right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}-4\overrightarrow{w}\).
b) Cho ba điểm A(– 1; – 3; – 2), B(2; 3; 4), C(3; 5; 6). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có: \(2\overrightarrow v = (0;12; - 4)\), \( - 4\overrightarrow w = (8; - 12; - 8)\).
Khi đó: \(\overrightarrow u + 2\overrightarrow v - 4\overrightarrow w \)
\( = ( - 2 + 0 + 8;0 + 12 - 12;1 - 4 - 8) = (6;0; - 11)\).
b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (3;6;6)\), \(\overrightarrow {AC} = (4;8;8)\).
Vì \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{6}{8}\) nên \(\overrightarrow {AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \), do đó \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AC} \).
Khi đó AB song song hoặc trùng với AC, mà hai đường thẳng có chung điểm A.
Vậy A, B, C thẳng hàng.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Hoạt động 1 (SGK Cánh Diều - Tập 1 - Trang 74)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (Hình 36), cho hai vectơoverrightarrow{u}left(x_1;y_1;z_1right) và overrightarrow{v}left(x_2;y_2;z_2right).a) Biểu diễn các vectơ overrightarrow{u},overrightarrow{v} theo ba vectơ overrightarrow{i},overrightarrow{j},overrightarrow{k}.b) Biểu diễn các vectơ overrightarrow{u}+overrightarrow{v},overrightarrow{u}-overrightarrow{v},moverrightarrow{u}left(mintext{ℝ}right) theo ba vectơ overrightarrow{i},overrightarrow{j},overrightarrow{k}.c) Tìm tọa độ của các vectơ...
Đọc tiếp
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (Hình 36), cho hai vectơ
\(\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right)\) và \(\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right)\).
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) theo ba vectơ \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}.\)
b) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v},m\overrightarrow{u}\left(m\in\text{ℝ}\right)\) theo ba vectơ \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}.\)
c) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v},m\overrightarrow{u}\left(m\in\text{ℝ}\right)\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\overrightarrow u = ({x_1};{y_1};{z_1}) = {x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j + {z_1}\overrightarrow k \).
\(\overrightarrow v = ({x_2};{y_2};{z_2}) = {x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j + {z_2}\overrightarrow k \).
b) \(\overrightarrow u + \overrightarrow v = {x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j + {z_1}\overrightarrow k + {x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j + {z_2}\overrightarrow k = ({x_1} + {x_2})\overrightarrow i + ({y_1} + {y_2})\overrightarrow j + ({z_1} + {z_2})\overrightarrow k \).
\(\overrightarrow u - \overrightarrow v = {x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j + {z_1}\overrightarrow k - {x_2}\overrightarrow i - {y_2}\overrightarrow j - {z_2}\overrightarrow k = ({x_1} - {x_2})\overrightarrow i + ({y_1} - {y_2})\overrightarrow j + ({z_1} - {z_2})\overrightarrow k \).
\(m\overrightarrow u = m({x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j + {z_1}\overrightarrow k ) = m{x_1}\overrightarrow i + m{y_1}\overrightarrow j + m{z_1}\overrightarrow k \).
c) \(\overrightarrow u + \overrightarrow v = ({x_1} + {x_2})\overrightarrow i + ({y_1} + {y_2})\overrightarrow j + ({z_1} + {z_2})\overrightarrow k = ({x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2};{z_1} + {z_2})\).
\(\overrightarrow u - \overrightarrow v = ({x_1} - {x_2})\overrightarrow i + ({y_1} - {y_2})\overrightarrow j + ({z_1} - {z_2})\overrightarrow k = ({x_1} - {x_2};{y_1} - {y_2};{z_1} - {z_2})\).
\(m\overrightarrow u = m{x_1}\overrightarrow i + m{y_1}\overrightarrow j + m{z_1}\overrightarrow k = (m{x_1};m{y_1};m{z_1})\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Khởi động (SGK Cánh Diều - Tập 1 - Trang 74)
Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt P(0; 0; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là Q1(0; – 1; 0), Q2left(dfrac{sqrt{3}}{2};dfrac{1}{2};0right), Q3left(-dfrac{sqrt{3}}{2};dfrac{1}{2};0right) (Hình 35). Biết rằng trọng lượng của máy quay là 360 N.Làm thế nào để tìm được tọa độ của các lực overrightarrow{F_1},overrightarrow{F_2},overrightarrow{F_3} tác dụng lên giá đỡ?
Đọc tiếp
Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt P(0; 0; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là Q1(0; – 1; 0), Q2\(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};0\right)\), Q3\(\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};0\right)\) (Hình 35). Biết rằng trọng lượng của máy quay là 360 N.
Làm thế nào để tìm được tọa độ của các lực \(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}\) tác dụng lên giá đỡ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTheo giả thiết, ta có các điểm P(0; 0; 4), \(Q_1\left(0;-1;0\right),Q_2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};0\right),Q_3\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};0\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{PQ1}=\left(0-0;-1-0;0-4\right)\) hay \(\overrightarrow{PQ_1}=\left(0;-1;-4\right);\)
\(\overrightarrow{PQ_2}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0;\dfrac{1}{2}-0;0-4\right)\) hay \(\overrightarrow{PQ_2}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};-4\right);\)
\(\overrightarrow{PQ_3}=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0;\dfrac{1}{2}-0;0-4\right)\) hay \(\overrightarrow{PQ_3}=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};-4\right)\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{PQ_1}\right|=\left|\overrightarrow{PQ_2}\right|=\left|\overrightarrow{PQ_3}\right|=\sqrt{17}\). Do đó \(\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{F_3}\right|\)
Vì vậy tồn tại hằng số c khác 0 sao cho:
\(\overrightarrow{F_1}=c\overrightarrow{PQ_1}=\left(0;-c;-4c\right);\\ \overrightarrow{F_2}=c\overrightarrow{PQ_2}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}c;\dfrac{1}{2}c;-4c\right);\\ \overrightarrow{F_3}=c\overrightarrow{PQ_3}=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}c;\dfrac{1}{2}c;-4c\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\left(0;0;-12c\right).\)
Mặt khác ta có \(\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{F}\) trong đó \(\overrightarrow{F}=\left(0;0;-360\right)\) là trọng lực tác dụng lên máy quay. => -12c = -360 => c = 30
Vậy\(\overrightarrow{F_1}=\left(0;-30;-120\right);\overrightarrow{F_2}=\left(15\sqrt{3};15;-120\right);\overrightarrow{F_3}=\left(-15\sqrt{3};15;-120\right).\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)