Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; – 1; 1), C'(4; 5; – 5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ khác \(\overrightarrow{0}\) vuông góc với cả hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{B'D'}\);
b) \(\overrightarrow{AC'}\) và \(\overrightarrow{BD}\).
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (1;1;1),\overrightarrow {AD} = (0; - 1;0)\)
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = (1;0;1\))
\(\overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {BD} = ( - 1; - 2; -1 )\)
\([\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} ] = \left( {\left| \begin{array}{l}\;\;\;0\;\;\;\;1\\ - 2\;\;\;\;\;1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}1\;\;\;\;\;\;1\\\;-1\;\;\;\;\; - 1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}1\;\;\;\;\;\;\;0\\ - 1\;\;\;\; - 2\end{array} \right|} \right) = (2; 0;- 2)\)
Chọn \(\overrightarrow u = (2; 0; - 2)\) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {B'D'} \).
b) \(\overrightarrow {AC'} = (3;5; - 6)\), \(\overrightarrow {BD} = ( - 1; - 2; - 1)\)
\([\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {BD} ] = \left( {\left| \begin{array}{l}\;\;\;5\;\;\;\; - 6\\ - 2\;\;\;\;\; - 1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 6\;\;\;\;\;\;3\\\; - 1\;\;\;\;\; - 1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}3\;\;\;\;\;\;\;5\\ - 1\;\;\;\; - 2\end{array} \right|} \right) = ( - 17;9; - 1)\)
Chọn \(\overrightarrow v = ( - 17;9; - 1)\) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow {AC'} \) và \(\overrightarrow {BD} \).