Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Hướng dẫn giải

Ta có thể vẽ được một đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác và đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác.

– Tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC.

Cách vẽ đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC bằng thước kẻ và compa:

⦁ Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB: Dùng compa vẽ hai cung tròn tâm A, B có cùng bán kính, hai cung này cắt nhau tại một điểm M. Qua điểm M, dùng thước kẻ vẽ đường thẳng vuông góc với AB, ta được đường trung trực d của AB.

⦁ Tương tự, vẽ đường trung trực d’ của đoạn thẳng BC, cắt đường thẳng d tại O.

⦁ Vẽ đường tròn (O; OA). Khi đó đường tròn (O; OA) là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC cần vẽ.

– Tâm đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác ABC là giao điểm ba đường phân giác trong tam giác ABC.

Cách vẽ đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác ABC bằng thước kẻ và compa:

⦁ Vẽ tia phân giác góc B như sau: Dùng compa vẽ một cung tròn tâm B cắt hai cạnh BC, BA lần lượt tại X và Y. Vẽ hai cung tròn tâm X, Y có cùng bán kính, hai cung này cắt nhau tại một điểm Z khác B. Kẻ tia BZ ta được tia phân giác góc B.

⦁ Tương tự, vẽ tia phân giác góc C, cắt tia BZ tại I.

⦁ Vẽ đường cao ID từ I xuống BC (D thuộc BC). Vẽ đường tròn (I; ID).

Khi đó đường tròn (I; ID) là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác ABC cần vẽ.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Do O thuộc đường trung trực của AB nên \(OA = OB\).

Suy ra, đường tròn tâm O đi qua điểm A thì đi qua điểm B.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC có ba đường trung trực đồng quy tại O nên \(OA = OB = OC\).

Do đó, 3 điểm A, B, C thuộc đường tròn đường kính OA.

Vậy đường tròn (O; OA) đi qua ba đỉnh của tam giác ABC

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Vì 4 điểm B, C, M, N thuộc đường tròn (O) nên các tam giác MNC, MNB, BCM, BCN nội tiếp đường tròn (O).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Vẽ đường thẳng a vuông góc với AB tại N thì a là đường trung trực của cạnh AB.

Vẽ đường thẳng b vuông góc với AC tại P thì b là đường trung trực của cạnh AC.

b) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(AB \bot AC\), vì a là trung trực của AB nên \(a \bot AB\), suy ra: a//AC.

Vì b là đường trung trực của AC nên \(b \bot AC\), mà \(AB \bot AC\)(cmt) nên b//AB.

Xét tam giác ABC có:

+ Vì a//AC, mà N là trung điểm của AB nên đường thẳng a đi qua trung điểm của BC. Do đó, MN là đường trung bình của tam giác ABC.

+ Vì b//AB, mà P là trung điểm của AC nên đường thẳng b đi qua trung điểm của BC. Do đó, MP là đường trung bình của tam giác ABC.

c) Vì đường thẳng a và b cùng đi qua trung điểm của BC nên đường thẳng a và b cắt nhau tại trung điểm của BC.

Mà M là giao điểm của a và b (gt)

Do đó M là trung điểm của BC.

Suy ra \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\)

Vì \(M \in a\) nên MA = MB (tính chất đường trung trực)

Suy ra \(MA = MB = MC = \frac{{BC}}{2}\).

Vậy M là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và bán kính \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Vì \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\left( {do\;{3^2} + {4^2} = {5^2}} \right)\) nên tam giác ABC vuông tại A (định lí Pythagore đảo)

Do đó, bán kính đường tròn tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \(R = \frac{{BC}}{2} = \frac{5}{2}\left( {cm} \right)\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Kẻ ba đường trung trực của các cạnh AB, AC, BC. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực đó thì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Vì tam giác ABC đều nên O vừa là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác, vừa là trọng tâm của tam giác. Do đó, tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng với trọng tâm của tam giác đó.

c) Tam giác ABC đều nên \(BC = AC,\widehat {ABC} = {60^o}\)

Vì tam giác ABC đều nên BO là đường trung trực, đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác.

Do đó \(\widehat {OBM} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \frac{1}{2}{.60^o} = {30^o}\).

Vì tam giác OBM vuông tại M nên áp dụng tỉ số lượng giác ta có:

\(cosOBM = \frac{BM}{OM}\)

suy ra \(OB = \frac{BM}{cosOBM} = \frac{BC}{2.\frac{\sqrt 3}{2}} = \frac{BC}{\sqrt 3} = \frac{\sqrt 3}{3}BC\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.

Gọi H là giao điểm của AO và BC nên AH là trung trực đồng thời là đường cao trong tam giác đều ABC.

Do đó: \(OA = \frac{{BC\sqrt 3 }}{3} \) suy ra \(BC = \sqrt 3 OA = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\).

Vậy cạnh của tam giác đều bằng \(4\sqrt 3 cm\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Vì D, E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ I xuống các cạnh BC, CA và AB nên \(IF \bot AB,IE \bot AC,ID \bot BC\).

Vì I là giao điểm của ba đường phân giác nên I cách đều ba cạnh AB, AC, CB. Do đó, \(IE = IF = ID\)

Do đó, ba điểm D, E, F cùng nằm trên một đường tròn có tâm I.

b) Gọi \(IE = IF = ID = R\) nên ba điểm D, E, F cùng nằm trên đường tròn (I; R).

Vì \(IE \bot AC\left( {E \in AC} \right),IE = R\) nên AC tiếp xúc với đường tròn (I; R) tại E.

Vì \(IF \bot AB\left( {F \in AB} \right),IF = R\) nên AB tiếp xúc với đường tròn (I; R) tại F.

Vì \(ID \bot BC\left( {D \in BC} \right),ID = R\) nên BC tiếp xúc với đường tròn (I; R) tại D.

Vậy đường tròn (I) ở trên tiếp xúc với các cạnh của tam giác ABC.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

⦁ Mỗi tam giác chỉ có một đường tròn nội tiếp, vì đối với mỗi góc của tam giác, ta chỉ xác định được duy nhất một đường phân giác, do đó giao điểm của ba đường phân giác này là duy nhất.

⦁ Có vô số tam giác ngoại tiếp một đường tròn, vì trên đường tròn có vô số điểm, mỗi điểm này đều có thể là một tiếp điểm của đường tròn đó với cạnh của tam giác.

Chẳng hạn như hình vẽ dưới đây:

(Trả lời bởi datcoder)