Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố: “Linh kiện lấy ra đạt tiêu chuẩn”, B là biến cố: “Linh kiện lấy ra do nhà máy I sản xuất”. Khi đó, \(P\left( B \right) = 0,55\), \(P\left( {\overline B } \right) = 0,45\), \(P\left( {A|B} \right) = 0,9\), \(P\left( {A|\overline B } \right) = 0,87\).

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) \)

\(= 0,55.0,9 + 0,45.0,87 = 0,8865\).

Vậy xác suất để linh kiện lấy ra đạt tiêu chuẩn là 0,8865.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(A = \left\{ {3;{\rm{ }}6;{\rm{ }}9;{\rm{ }}12;{\rm{ }}15;{\rm{ }}18;{\rm{ }}21;{\rm{ }}24} \right\},B = \left\{ {4;{\rm{ }}8;{\rm{ }}12;{\rm{ }}16;{\rm{ }}20;{\rm{ }}24} \right\}\), \(\Omega  = \left\{ {1;2;3;...;24} \right\}\)\(A \cap B = \left\{ {12;24} \right\},A \cap \overline B  = \left\{ {3;6;9;15;18;21} \right\}\).

b) Ta có: \(n\left( A \right) = 8,n\left( {A \cap B} \right) + n\left( {A \cap \overline B } \right) = 2 + 6 = 8\) nên \(n\left( A \right) = n\left( {A \cap B} \right) + n\left( {A \cap \overline B } \right)\).

\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{n\left( {A \cap B} \right) + n\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} + \frac{{n\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right)\)

c) Ta có: \(P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) = P\left( B \right).\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = P\left( {A \cap B} \right)\);

\(P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( {\overline B } \right).\frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = P\left( {A \cap \overline B } \right)\).

Vì \(A \cap B,A \cap \overline B \) là hai biến cố xung khắc nên \(\left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A \cap \overline B } \right) = A\), theo công thức xác suất ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{8}{{24}} = \frac{1}{3};P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{6}{{24}} = \frac{1}{4}\);

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};P\left( {B|A} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

b) Ta có: \(\frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{1}{4}.\frac{1}{3}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{4} = P\left( {B|A} \right)\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Theo công thức Bayes ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,4.0,3}}{{0,8}} = 0,15\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Xét hai biến cố: A: “Người được chọn là đàn ông”, B: “Người được chọn bị mù màu”.

Khi đó, ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = 0,5,P\left( {B|A} \right) = 0,05,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,0025\).

Theo công thức Bayes ta có, xác suất để một người mù màu được chọn là đàn ông là:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}\)\( = \frac{{0,5.0,05}}{{0,5.0,05 + 0,5.0,0025}} \approx 0,9524\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0,4\).

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58\).

Chọn C

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Gọi các biến cố:

A: “Viên bi lấy ra từ hộp I bỏ sang hộp II là bi màu trắng”.

Suy ra \(\overline A \): “Viên bi lấy ra từ hộp I bỏ sang hộp II là bi màu đen”.

B: “Viên bi lấy ra từ hộp II là màu trắng”.

Theo đề bài ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {\bar A} \right) = \frac{1}{2}\).

Nếu A xảy ra, hộp II sẽ có 7 viên bi trắng trong tổng số 11 viên. Do đó: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{7}{{11}}\).

Nếu \(\overline A \) xảy ra, hộp II sẽ có 6 viên bi trắng trong tổng số 11 viên. Do đó: \(P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{6}{{11}}\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{1}{2}.\frac{7}{{11}} + \frac{1}{2}.\frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}\).

b) C: “Viên bi được chọn từ hộp II là viên bi được chuyển từ hộp I”.

Có \(P(C|B) = \frac{{\frac{5}{{10}}.\frac{1}{{11}}}}{{\frac{{13}}{{22}}}} = \frac{1}{{13}}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Xét hai biến cố: A: “Linh kiện lấy ra là linh kiện tốt”, B: “Linh kiện lấy ra do nhà máy I sản xuất”.

Vì nhà máy I có 80 sản phẩm, nhà máy II có 120 sản phẩm nên

\(P\left( B \right) = 0,4;P\left( {\overline B } \right) = 0,6.\) Lại có: \(P\left( {A|B} \right) = 0,96;P\left( {A|\overline B } \right) = 0,97\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,4.0,96 + 0,6.0,97 = 0,966\).

b) Gọi C là biến cố “Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện phế phẩm”. Khi đó, \(P\left( C \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,034\). Theo đề bài ta có: \(P\left( {C|B} \right) = 0,04\).

Nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy I sản xuất là: \(P\left( {B|C} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {C|B} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{0,4.0,04}}{{0,034}} = \frac{8}{{17}}\).

Nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy II sản xuất là: \(P\left( {\overline B |C} \right) = 1 - P\left( {B|C} \right) = 1 - \frac{8}{{17}} = \frac{9}{{17}}\).

Vì \(\frac{9}{{17}} > \frac{8}{{17}}\) nên nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao hơn.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)