Hãy giải bài toán trong phần mở đầu bằng cách lập bảng thống kê như trong Ví dụ 2, biết rằng cả hai nhà máy sản xuất được 10 000 linh kiện.
Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes
Luyện tập 1 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 99)
Thảo luận (0)
Hoạt động 1 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 97)
Một hộp có 24 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 24; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biết cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4”.a) Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố A, B, A ∩ B, A ∩ overline{B} (Hình 1).b) So sánh: n(A) và n(A ∩ B) + n(A ∩ overline{B}).Từ đó hãy chứng tỏ rằng: Pleft(Aright...
Đọc tiếp
Một hộp có 24 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 24; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biết cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4”.
a) Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố A, B, A ∩ B, A ∩ \(\overline{B}\) (Hình 1).
b) So sánh: n(A) và n(A ∩ B) + n(A ∩ \(\overline{B}\)).
Từ đó hãy chứng tỏ rằng: \(P\left(A\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(A\cap\overline{B}\right)\).
c) So sánh: P(A ∩ B) và P(B) . P(A | B); P(A ∩ \(\overline{B}\)) và P(\(\overline{B}\)) . P(A | \(\overline{B}\)).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(A = \left\{ {3;{\rm{ }}6;{\rm{ }}9;{\rm{ }}12;{\rm{ }}15;{\rm{ }}18;{\rm{ }}21;{\rm{ }}24} \right\},B = \left\{ {4;{\rm{ }}8;{\rm{ }}12;{\rm{ }}16;{\rm{ }}20;{\rm{ }}24} \right\}\), \(\Omega = \left\{ {1;2;3;...;24} \right\}\)\(A \cap B = \left\{ {12;24} \right\},A \cap \overline B = \left\{ {3;6;9;15;18;21} \right\}\).
b) Ta có: \(n\left( A \right) = 8,n\left( {A \cap B} \right) + n\left( {A \cap \overline B } \right) = 2 + 6 = 8\) nên \(n\left( A \right) = n\left( {A \cap B} \right) + n\left( {A \cap \overline B } \right)\).
\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{n\left( {A \cap B} \right) + n\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} + \frac{{n\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right)\)
c) Ta có: \(P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) = P\left( B \right).\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = P\left( {A \cap B} \right)\);
\(P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( {\overline B } \right).\frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = P\left( {A \cap \overline B } \right)\).
Vì \(A \cap B,A \cap \overline B \) là hai biến cố xung khắc nên \(\left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A \cap \overline B } \right) = A\), theo công thức xác suất ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Luyện tập 4 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 101)
Được biết có 5% đàn ông bị mù màu, và 0,25% phụ nữ bị mù màu (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005). Giả sử số đàn ông bằng số phụ nữ. Chọn một người bị mù màu một cách ngẫu nhiên. Hỏi xác suất để người đó là đàn ông là bao nhiêu?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiXét hai biến cố: A: “Người được chọn là đàn ông”, B: “Người được chọn bị mù màu”.
Khi đó, ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = 0,5,P\left( {B|A} \right) = 0,05,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,0025\).
Theo công thức Bayes ta có, xác suất để một người mù màu được chọn là đàn ông là:
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}\)\( = \frac{{0,5.0,05}}{{0,5.0,05 + 0,5.0,0025}} \approx 0,9524\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Luyện tập 2 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 100)
Hãy giải bài toán trong phần mở đầu bằng phương pháp sử dụng sơ đồ hình cây như trong Ví dụ 3.
Luyện tập 3 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 101)
Cho hai biến cố A, B sao cho P(A) = 0,4; P(B) = 0,8; P(B | A) = 0,3. Tính P(A | B).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTheo công thức Bayes ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,4.0,3}}{{0,8}} = 0,15\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 1 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 102)
Cho hai biến cố A, B với P(B) = 0,6; P(A | B) = 0,7 và P(A | \(\overline{B}\)) = 0,4. Khi đó, P(A) bằng:
A. 0,7. B. 0,4. C. 0,58. D. 0,52.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0,4\).
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58\).
Chọn C
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 3 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 102)
Một loại linh kiện do hai nhà máy số I, số II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là: 4%; 3%. Trong một lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó.a) Tính xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt.b) Giả sử linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm. Xác suất linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao hơn?
Đọc tiếp
Một loại linh kiện do hai nhà máy số I, số II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là: 4%; 3%. Trong một lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó.
a) Tính xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt.
b) Giả sử linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm. Xác suất linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao hơn?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Xét hai biến cố: A: “Linh kiện lấy ra là linh kiện tốt”, B: “Linh kiện lấy ra do nhà máy I sản xuất”.
Vì nhà máy I có 80 sản phẩm, nhà máy II có 120 sản phẩm nên
\(P\left( B \right) = 0,4;P\left( {\overline B } \right) = 0,6.\) Lại có: \(P\left( {A|B} \right) = 0,96;P\left( {A|\overline B } \right) = 0,97\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,4.0,96 + 0,6.0,97 = 0,966\).
b) Gọi C là biến cố “Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện phế phẩm”. Khi đó, \(P\left( C \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,034\). Theo đề bài ta có: \(P\left( {C|B} \right) = 0,04\).
Nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy I sản xuất là: \(P\left( {B|C} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {C|B} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{0,4.0,04}}{{0,034}} = \frac{8}{{17}}\).
Nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy II sản xuất là: \(P\left( {\overline B |C} \right) = 1 - P\left( {B|C} \right) = 1 - \frac{8}{{17}} = \frac{9}{{17}}\).
Vì \(\frac{9}{{17}} > \frac{8}{{17}}\) nên nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao hơn.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 4 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 102)
Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác 100%. Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A, cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 70%, còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 10%. Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1 000...
Đọc tiếp
Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác 100%. Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A, cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 70%, còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 10%. Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1 000 000 con (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là bao nhiêu?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiXét hai biến cố: A: “Con bò chọn ra bị mắc bệnh bò điên”, B: “Con bò được chọn có phản ứng dương tính với phản ứng A”.
Vì có tỉ lệ bò bị mắc bệnh là 13 con trên 1 000 000 con nên \(P\left( A \right) = 0,000013\). Do đó, \(P\left( {\overline A } \right) = 0,999987\).
Trong số bò bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính là 70% nên \(P\left( {B|A} \right) = 0,7\)
Trong số bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính là 10% nên \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,000013.0,7 + 0,999987.0,1 = 0,1000078\).
Theo công thức Bayes ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,000013.0,7}}{{0,1000078}} = 0,000091\).
Vậy khi một con bò ở Hà Lan phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị điên là 0,000091.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 2 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 102)
Có hai chiếc hộp, hộp I có 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen, hộp II có 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II.Sau đó lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II.a) Tính xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng.b) Giả sử viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng. Tính xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I.
Đọc tiếp
Có hai chiếc hộp, hộp I có 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen, hộp II có 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II.
Sau đó lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II.
a) Tính xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng.
b) Giả sử viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng. Tính xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
a) Gọi các biến cố:
A: “Viên bi lấy ra từ hộp I bỏ sang hộp II là bi màu trắng”.
Suy ra \(\overline A \): “Viên bi lấy ra từ hộp I bỏ sang hộp II là bi màu đen”.
B: “Viên bi lấy ra từ hộp II là màu trắng”.
Theo đề bài ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {\bar A} \right) = \frac{1}{2}\).
Nếu A xảy ra, hộp II sẽ có 7 viên bi trắng trong tổng số 11 viên. Do đó: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{7}{{11}}\).
Nếu \(\overline A \) xảy ra, hộp II sẽ có 6 viên bi trắng trong tổng số 11 viên. Do đó: \(P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{6}{{11}}\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{1}{2}.\frac{7}{{11}} + \frac{1}{2}.\frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}\).
b) C: “Viên bi được chọn từ hộp II là viên bi được chuyển từ hộp I”.
Có \(P(C|B) = \frac{{\frac{5}{{10}}.\frac{1}{{11}}}}{{\frac{{13}}{{22}}}} = \frac{1}{{13}}\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Hoạt động 2 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 100)
Xét hai biến cố A, B trong Hoạt động 1.
a) Tính P(A), P(B), P(A | B), P(B | A).
b) So sánh P(B | A) và \(\dfrac{P\left(B\right).P\left(A\text{|}B\right)}{P\left(A\right)}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{8}{{24}} = \frac{1}{3};P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{24}} = \frac{1}{4}\);
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};P\left( {B|A} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).
b) Ta có: \(\frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{1}{4}.\frac{1}{3}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{4} = P\left( {B|A} \right)\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)