Bài 2. Cấp số cộng

Hướng dẫn giải

Ta có: 

\(-3=1+\left(-4\right)\\ -7=\left(-3\right)+\left(-4\right)\\ -11=\left(-7\right)+\left(-4\right)\\ -15=\left(-11\right)+\left(-4\right)\)

Vậy dãy số trên là cấp số cộng với công sai \(d=-4\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: 

\(u_n=u_1+\left(n-1\right)d\\ =4+\left(n-1\right)\cdot\left(-10\right)\\ =4-10n+10\\ =14-10n\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

\(a,u_{12}=u_1+\left(12-1\right)d=u_1+11d=\left(-3\right)+11\cdot2=19\)

b, Giả sử số 195 là số hạng thứ n (n \(\in\) N*) của cấp số cộng.

Ta có: 

\(u_n=u_1+\left(n-1\right)d\\ \Leftrightarrow195=-3+\left(n-1\right)\cdot2\\ \Leftrightarrow n=100\)

Vậy số 195 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \({u_{n + 1}} = 3 - 4\left( {n + 1} \right) = 3 - 4n - 4 =  - 1 - 4n\)

Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( { - 1 - 4n} \right) - \left( {3 - 4n} \right) =  - 1 - 4n - 3 + 4n =  - 4\)

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai \(d =  - 4\).

b) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{2} - 4 = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} - 4 = \frac{n}{2} - \frac{7}{2}\)

Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {\frac{n}{2} - \frac{7}{2}} \right) - \left( {\frac{n}{2} - 4} \right) = \frac{n}{2} - \frac{7}{2} - \frac{n}{2} + 4 = \frac{1}{2}\)

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai \(d = \frac{1}{2}\).

c) Ta có: \({u_1} = {5^1} = 5;{u_2} = {5^2} = 25;{u_3} = {5^3} = 125\)

Vì \({u_2} - {u_1} = 20;{u_3} - {u_2} = 100\) nên dãy số không là cấp số cộng.

d) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{9 - 5\left( {n + 1} \right)}}{3} = \frac{{9 - 5n - 5}}{3} = \frac{{4 - 5n}}{{3}}\)

Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{4 - 5n}}{3} - \frac{{9 - 5n}}{3} = \frac{{\left( {4 - 5n} \right) - \left( {9 - 5n} \right)}}{3} = \frac{{4 - 5n - 9 + 5n}}{3} =  - \frac{5}{3}\)

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai \(d =  - \frac{5}{3}\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

\(a,\left\{{}\begin{matrix}u_3-u_1=20\\u_2+u_5=54\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(u_1+2d\right)-u_1=20\\\left(u_1+d\right)+\left(u_1+4d\right)=54\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2d=20\\2u_1+5d=54\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=10\\u_1=2\end{matrix}\right.\)

Vậy cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1=2\) và công sai \(d=10\)

\(b,\left\{{}\begin{matrix}u_2+u_3=0\\u_2+u_5=80\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+d+u_1+2d=0\\u_1+d+u_1+4d=80\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=-60\\d=40\end{matrix}\right.\)

Vậy cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1=-60\) và công sai \(d=40\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a, Theo đề bài, ta có dãy số chỉ chiều dài các thanh ngang của cái thang đó là một cấp số cộng có số hạng đầu là \(u_1=45\), số hạng cuối \(u_n=31\) và công sai \(d=-2\)

Ta có; 

\(u_n=u_1+\left(n-1\right)d\\ \Leftrightarrow31=45+\left(n-1\right)\cdot\left(-2\right)\\ \Leftrightarrow n=8\)

Vậy cái thang đó có 8 bậc.

b, Chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua chính là tổng của 8 thanh ngang của cái thang đó.

Vậy chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua là:

\(S_8=\dfrac{8\cdot\left(u_1+u_8\right)}{2}=\dfrac{8\cdot\left(45+31\right)}{2}=304\left(cm\right)\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a, Ta có: 

\(48=16+32\\ 80=48+32\\ 112=80+32\\ 144=112+32\\ ...\)

Vậy dãy số trên là cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=16\) và công sai \(d=32\)

b, Tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10s đầu tiên là: 

\(S_{10}=\dfrac{10\cdot\left[u_1+\left(10-1\right)d\right]}{2}=\dfrac{10\cdot\left[2u_1+9d\right]}{2}=\dfrac{10\cdot\left(2\cdot16+9\cdot32\right)}{2}=1600\left(feet\right)\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao là: \(100+5\cdot4=120\left(cm\right)\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)