Bài 16. Công thức tính góc trong không gian

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right)\), mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {0;1;0} \right)\). Ta có: \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0.1 - \sqrt 2 .1 + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Do đó, \(\left( {\left( P \right),\left( {Oxz} \right)} \right) = {45^0}\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A\left( {0; - 2;0} \right),C\left( {0;2;0} \right),B\left( {2\sqrt 3 ;0;0} \right),A'\left( {0; - 2;7} \right),C'\left( {0;2;5} \right),B'\left( {2\sqrt 3 ;0;6} \right)\)

\(\overrightarrow {AB} \left( {2\sqrt 3 ;2;0} \right),\overrightarrow {AC} \left( {0;4;0} \right);\overrightarrow {A'B'} \left( {2\sqrt 3 ;2; - 1} \right),\overrightarrow {A'C'} \left( {0;4; - 2} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\4&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{2\sqrt 3 }\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0; 8\sqrt 3 } \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{2\sqrt 3 }\\{ - 2}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right)\)

Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là: \(\frac{{ 1}}{{8\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0;1} \right)\)

Mặt phẳng (A’B’C’) có một vectơ pháp tuyến là: \(\frac{1}{{4\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;1;2} \right)\)

Do đó, \(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.0 + 0.1 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) \approx 26,{6^o}\)

Vậy mái nhà nghiêng so với mặt sàn nhà một góc khoảng \(26,{1^o}\).

(Trả lời bởi datcoder)