Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Hướng dẫn giải

a) Diện tích hình cần tìm là:

\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - {x^2} + 1} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{e^x} - {x^2} + 1} \right)dx}  = \left( {{e^x} - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)\left| \begin{array}{l}1\\ - 1\end{array} \right.\)

\( = e - \frac{1}{3} + 1 - \left( {\frac{1}{e} + \frac{1}{3} - 1} \right) = e - \frac{1}{e} + \frac{4}{3}\)

b) Diện tích hình cần tính là:

\(S = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\left| {\sin x - x} \right|dx}  =  - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\left( {\sin x - x} \right)dx}  = \left( {\cos x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}\pi \\\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)

\( = \cos \pi  + \frac{{{\pi ^2}}}{2} - \cos \frac{\pi }{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{8} =  - 1 + \frac{{3{\pi ^2}}}{8}\)

c) Diện tích hình cần tính là:

\(S = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {9 - {x^2} - 2{x^2}} \right|dx}  = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left( {9 - 3{x^2}} \right)dx}  = \left( {9x - {x^3}} \right)\left| \begin{array}{l}\sqrt 3 \\ - \sqrt 3 \end{array} \right.\)

\( = 9\sqrt 3  - {\left( {\sqrt 3 } \right)^3} + 9\sqrt 3  + {\left( { - \sqrt 3 } \right)^3} = 12\sqrt 3 \)

d) Diện tích hình cần tính là:

\(S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x  - {x^2}} \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x  - {x^2}} \right)dx}  = \left( {\frac{{2x\sqrt x }}{3} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005 là:

\(\int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1723} \right)}^2} - x} \right|dx} \)

\( = \int\limits_0^{100} {\left| {0,{{00061}^2}{x^4} + 4,{{7524.10}^{ - 4}}.{x^2} + {{1723}^2} + 2,{{6596.10}^{ - 5}}{x^3} + 2,10206{x^2} + 74,1228x} \right|dx} \)

\( = \int\limits_0^{100} {\left( {0,{{00061}^2}{x^4} + 4,{{7524.10}^{ - 4}}.{x^2} + {{1723}^2} + 2,{{6596.10}^{ - 5}}{x^3} + 2,10206{x^2} + 74,1228x} \right)dx} \)

\( = \left( {7,{{442.10}^{ - 8}}{x^5} + \frac{{11881}}{{75}}{{.10}^{ - 6}}{x^3} + {{1723}^2}x + 6,{{649.10}^{ - 6}}{x^4} + \frac{{105103}}{{150000}}{x^3} + 37,0614{x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}100\\0\end{array} \right.\)

\( = 7,{442.10^{ - 8}}{.100^5} + \frac{{11881}}{{75}}{.10^{ - 6}}{.100^3} + {1723^2}.100 + 6,{649.10^{ - 6}}{.100^4}\)

\( + \frac{{105103}}{{150000}}{.100^3} + 37,{0614.100^2} = 297945768,18\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Thể tích hình cần tính là:

\(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - 4{x^3} + {x^4}} \right)dx}  = \pi \left( {\frac{4}{3}{x^3} - {x^4} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)\left| \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right.\)

\( = \pi \left( {\frac{4}{3}{{.2}^3} - {2^4} + \frac{{{2^5}}}{5}} \right) = \frac{{16\pi }}{{15}}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Thể tích khối chỏm cầu là:

\(V = \pi \int\limits_{R - h}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)dx}  = \pi \left( {{R^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}R\\R - h\end{array} \right.\)

\( = \pi \left[ {{R^3} - \frac{{{R^3}}}{3} - {R^2}\left( {R - h} \right) + \frac{{{{\left( {R - h} \right)}^3}}}{3}} \right] = \pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right)\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(AB = a\tan \alpha \). Khi quay tam giác AOB quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy \(r = AB = a\tan \alpha \) và chiều cao \(h = OA = a\).

Thể tích khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .a.{a^2}{\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{3}\pi .{a^3}{\tan ^2}\alpha \) .

b) Theo a ta có: \(V = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\alpha \).

Ta có: \(V' = \frac{2}{3}\pi {a^3}\tan \alpha .\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\). Với \(0 < \alpha  \le \frac{\pi }{4} \Rightarrow 0 < \tan \alpha  < 1\). Do đó, \(V' > 0\) nên hàm số V đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right]} V = V\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\frac{\pi }{4} = \frac{1}{3}\pi {a^3}\).

Vậy giá trị lớn nhất của V là \(\frac{1}{3}\pi {a^3}\) khi \(\alpha  = \frac{\pi }{4}\).

(Trả lời bởi datcoder)