Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Hướng dẫn giải

a) Đặt tên các điểm như hình vẽ. Khi đó, \(AD = 1,DE = 1,AC = 2,CB = 2\)

Diện tích S của hình phẳng là:

\(S = {S_{\Delta EAD}} + {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AD.DE + \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}.1.1 + \frac{1}{2}.2.2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\)

b) \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {x + 1} \right|dx}  = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {x + 1} \right|dx}  + \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {x + 1} \right|dx =  - \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {x + 1} \right)dx}  + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + 1} \right)dx} } \)

\( =  - \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)\left| \begin{array}{l} - 1\\ - 2\end{array} \right. + \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)\left| \begin{array}{l}1\\ - 1\end{array} \right. = \left( {\frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} + 1} \right) - \left( {\frac{{{1^2}}}{2} - 1 - \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{2} + 2} \right) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng cần tính là:

\(S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}  + \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}  =  - \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx}  + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} \)

\( =  - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)\left| \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right. + \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)\left| \begin{array}{l}3\\2\end{array} \right. =  - \left( {\frac{{{2^3}}}{3} - 4.2} \right) + \left( {\frac{{{3^3}}}{3} - 4.3 - \frac{{{2^3}}}{3} + 4.2} \right) = \frac{{16}}{3} + \frac{7}{3} = \frac{{23}}{3}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y =  - {x^2} + 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) là:

\({S_1} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx}  = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx}  = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{{ - {3^3}}}{3} + {2.3^2} + \frac{1}{3} - {2.1^2} = \frac{{22}}{3}\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) là: \({S_2} = \int\limits_1^3 {\left| x \right|dx}  = \int\limits_1^3 {xdx}  = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = 4\)

Do đó, \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{22}}{3} - 4 = \frac{{10}}{3}\)

b) \(\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|dx}  = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx}  = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right.\)

\( = \frac{{ - {3^3}}}{3} + \frac{{{{3.3}^2}}}{2} + \frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{{10}}{3}\)

Do đó, \(S = \int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng cần tính là:

\(\int\limits_1^4 {\left| {x - \sqrt x  - 2} \right|dx}  =  - \int\limits_1^4 {\left( {x - \sqrt x  - 2} \right)dx}  =  - \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{2x\sqrt x }}{3} - 2x} \right)\left| \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right.\)

\( =  - \left( {\frac{{{4^2}}}{2} - \frac{{2.4\sqrt 4 }}{3} - 2.4 - \frac{1}{2} + \frac{{2.1.\sqrt 1 }}{3} + 2.1} \right) = \frac{{19}}{6}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Gọi điểm M là giao điểm của hàm cầu \(p =  - 0,36x + 9\) và hàm cung \(p = 0,14x + 2\)

Khi đó, phương trình hoành độ giao điểm của hàm cầu và hàm cung là:

\( - 0,36x + 9 = 0,14x + 2\), suy ra \(x = 14\) nên \(p =  - 0,36.14 + 9 = \frac{{99}}{{25}}\). Do đó, \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\)

Đồ thị hàm số \(p =  - 0,36x + 9\) đi qua điểm \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\) và điểm N(0 ;9)

Đồ thị hàm số \(p = 0,14x + 2\) đi qua điểm \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\) và điểm P(0; 2)

Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số \(p =  - 0,36x + 9\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 14\) là: \({S_1} = \int\limits_0^{14} {\left| { - 0,36x + 9} \right|dx}  = \int\limits_0^{14} {\left( { - 0,36x + 9} \right)dx}  = \left( { - 0,18{x^2} + 9x} \right)\left| \begin{array}{l}14\\0\end{array} \right.\)

\( =  - 0,{18.14^2} + 9.14 = 90,72\)

Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số \(p = 0,14x + 2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 14\) là:

\({S_2} = \int\limits_0^{14} {\left| {0,14x + 2} \right|dx}  = \int\limits_0^{14} {\left( {0,14x + 2} \right)dx}  = \left( {0,07{x^2} + 2x} \right)\left| \begin{array}{l}14\\0\end{array} \right.\)\( = 0,{07.14^2} + 2.14 = 41,72\)

Thặng dư tiêu dùng cho sản phẩm này là: \({S_1} - OQ.QM = 90,72 - 14.\frac{{99}}{{25}} = 35,28\)

Thặng dư sản xuất cho sản phẩm này là: \(OQ.OM - {S_2} = 14.\frac{{99}}{{25}} - 41,72 = 13,72\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Thể tích V của hình trụ là: \(V = \pi {R^2}h = \pi {R^2}\left( {b - a} \right)\) (h là chiều cao của hình trụ)

b) Diện tích mặt cắt S(x) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x là: \(S\left( x \right) = \pi {R^2}\).

Ta có: \(\int\limits_a^b {S\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {\pi {R^2}dx}  = \pi {R^2}x\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. = \pi {R^2}\left( {b - a} \right)\). Do đó, \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, ta đặt khối chóp (tạo ra khối chóp cụt) sao cho đường cao nằm trên trục Ox và đỉnh trùng với gốc tọa độ.

Gọi a và b lần lượt là khoảng cách từ O đến đáy nhỏ và đáy lớn. Khi đó, chiều cao của khối chóp cụt là: \(h = b - a\).

Thiết diện của khối chóp cụt đều cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x \(\left( {a \le x \le b} \right)\) là một đa giác đều đồng dạng với đáy lớn với tỉ số đồng dạng là \(\frac{x}{b}\).

Ta có: \(\frac{{S\left( x \right)}}{{{S_1}}} = \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}\) nên \(S\left( x \right) = {S_1}.\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}\).

Thể tích của khối chóp cụt đều là:

\(V = \int\limits_a^b {{S_1}\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}dx}  = \frac{{{S_1}\left( {{b^3} - {a^3}} \right)}}{{3{b^2}}} = \frac{{b - a}}{3}.\frac{{{S_1}{a^2} + {S_1}ab + {S_1}{b^2}}}{{{b^2}}} = \frac{h}{3}\left( {\frac{{{S_1}{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{S_1}a}}{b} + {S_1}} \right)\)

Lại có: \({S_0} = S\left( a \right) = \frac{{{S_1}{a^2}}}{{{b^2}}},\frac{{{S_1}a}}{b} = \sqrt {{S_1}.\frac{{{S_1}{a^2}}}{{{b^2}}}}  = \sqrt {{S_1}{S_0}} \). Do đó, \(V = \frac{h}{3}\left( {{S_0} + \sqrt {{S_0}{S_1}}  + {S_1}} \right)\)

Khối chóp đều được coi là khối chóp cụt đều có \({S_0} = 0\). Do đó, thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h là: \(V = \frac{1}{3}S.h\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}.\pi {.2^2}.4 = \frac{{16\pi }}{3}\)

b)

Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x \(\left( {0 \le x \le 4} \right)\) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x\).

Diện tích mặt cắt là: \(S\left( x \right) = \pi {f^2}\left( x \right) = \frac{1}{4}\pi {x^2}\).

Ta có: \(\pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right)dx}  = \pi \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}{x^2}dx = \frac{{\pi {x^3}}}{{12}}\left| \begin{array}{l}4\\0\end{array} \right. = } \frac{{16\pi }}{3}\). Do đó, \(V = \pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right)dx} \).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a)

Ta có: \(C\left( {0;r} \right),B\left( {h,R} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC} \left( { - h,r - R} \right) \Rightarrow \overrightarrow n \left( {r - R,h} \right)\)

Phương trình đường thẳng BC là: \(\left( {r - R} \right)x + h\left( {y - r} \right) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{hr + \left( {R - r} \right)x}}{h}\)

Thể tích hình cần tính là:

\(V = \pi \int\limits_0^h {{{\left[ {\frac{{hr + \left( {R - r} \right)x}}{h}} \right]}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^h {{{\left[ {r + \frac{{\left( {R - r} \right)x}}{h}} \right]}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^h {\left[ {{r^2} + \frac{{2r\left( {R - r} \right)x}}{h} + \frac{{{{\left( {R - r} \right)}^2}{x^2}}}{{{h^2}}}} \right]dx} \)

\( = \pi \left( {{r^2}x + \frac{{r\left( {R - r} \right){x^2}}}{h} + \frac{{{{\left( {R - r} \right)}^2}{x^3}}}{{3{h^2}}}} \right)\left| \begin{array}{l}h\\0\end{array} \right. = \pi \left( {{r^2}h + \frac{{r\left( {R - r} \right){h^2}}}{h} + \frac{{{{\left( {R - r} \right)}^2}{h^3}}}{{3{h^2}}}} \right)\)

\( = \pi \left( {{r^2}h + r\left( {R - r} \right)h + \frac{{{{\left( {R - r} \right)}^2}h}}{3}} \right) = \pi \left( {{r^2}h + rRh - {r^2}h + \frac{{{R^2}h}}{3} - \frac{{2rRh}}{3} + \frac{{{r^2}h}}{3}} \right)\)

\( = \pi \left( {\frac{{rRh}}{3} + \frac{{{R^2}h}}{3} + \frac{{{r^2}h}}{3}} \right) = \frac{1}{3}\pi h\left( {{R^2} + rR + {r^2}} \right)\)

b) Khi \(r = 0\) thì khối nón cụt trở thành khối nón có chiều cao h và bán kính đáy R. Do đó, thể tích khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng cần tính là:

\(S = \int\limits_0^4 {\left| {5x - {x^2} - x} \right|dx}  = \int\limits_0^4 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx}  = \int\limits_0^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx}  = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}4\\0\end{array} \right. = \frac{{ - {4^3}}}{3} + {2.4^2} = \frac{{32}}{3}\)

(Trả lời bởi datcoder)