Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số f(x) = −x2 + 4x, g(x) = x và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (H.4.16).
a) Giả sử S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = −x2 + 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Tính S1, S2 và từ đó suy ra S.
b) Tính \(\int\limits^3_1\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx\) và so sánh với S.
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) là:
\({S_1} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{{ - {3^3}}}{3} + {2.3^2} + \frac{1}{3} - {2.1^2} = \frac{{22}}{3}\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) là: \({S_2} = \int\limits_1^3 {\left| x \right|dx} = \int\limits_1^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = 4\)
Do đó, \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{22}}{3} - 4 = \frac{{10}}{3}\)
b) \(\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right.\)
\( = \frac{{ - {3^3}}}{3} + \frac{{{{3.3}^2}}}{2} + \frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{{10}}{3}\)
Do đó, \(S = \int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)