$4. Tổng và hiệu của hai vectơ

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {GD}  =  - \overrightarrow {DG} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow v  = \overrightarrow {DE}  + ( - \overrightarrow {DG} ) = \overrightarrow {DE}  + \overrightarrow {GD} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow v  = \overrightarrow {GD}  + \overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {GE} \) (tính chất giao hóan)

Chọn B.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {CD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC} \end{array}\)

(luôn đúng)

b) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA} )\\ = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow 0 \end{array}\)

Chú ý khi giải

+) Hiệu hai vecto chung gốc: \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (suy ra từ tổng \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} \))

+) Với 4 điểm A, B, C, D bất kì ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {AA}  = \overrightarrow 0 \)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a)  Theo quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

 \( \Rightarrow |\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} |\; = \;|\overrightarrow {AC} |\)

Vậy mệnh đề này đúng.

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \ne \overrightarrow {CB} \)

Vậy mệnh đề này sai.

c) Ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OC} =  \overrightarrow {0} \Leftrightarrow \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {CB} =\overrightarrow {0}\Leftrightarrow 2\overrightarrow {CB} =\overrightarrow {0} \)

Vậy mệnh đề này sai.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Hai vecto \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \) đối nhau \( \Leftrightarrow \) hai tia OA, OB đối nhau và OA = OB.

\( \Leftrightarrow \) O là trung điểm của AB hay AB là đường kính của đường tròn (O).

Vậy điều kiện cần và đủ để hai vecto \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \) đối nhau là AB là đường kính của đường tròn (O).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  =  - \overrightarrow {MA} ,\;\overrightarrow {DM}  =  - \overrightarrow {MD} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {AB} \)

Tương tự ta có: \(\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {DM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {DC} \)

Mà \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)(do ABCD là hình bình hành)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD} \) (đpcm)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Do ABCD cũng là một hình bình hành nên \(\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {DB} \)

\( \Rightarrow \;|\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} |\; = \;|\overrightarrow {DB} |\; = DB = a\sqrt 2 \)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AB} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = a\sqrt 2 \)

c) Ta có: \(\overrightarrow {DO}  = \overrightarrow {OB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {DO}  = \overrightarrow {DO}  + \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {DA} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {DA} } \right| = DA = a.\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành OADB.

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OD} \)

Ta có: OA = OB = 120 suy ra tứ giác OADB là hình thoi

\( \Rightarrow \widehat {AOD} = \widehat {BOD} = \frac{{{{120}^o}}}{2} = {60^o}\)

\( \Rightarrow \Delta AOD\) đều (do OA = AD và \(\widehat {AOD} = {60^o}\))

\( \Rightarrow OD = OA = 120\)

Mặt khác: Do vật đứng yên nên \(\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  + \;\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \;\overrightarrow {{F_3}}  =  - (\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}} ) =  - \overrightarrow {OD} \)

Suy ra vecto \(\overrightarrow {OC} \) là vecto đối của vecto \(\overrightarrow {OD} \)

Lại có: \(\widehat {COA} = {180^o} - \widehat {AOD} = {120^o}\).Tương tự: \(\widehat {COB} = {120^o}\)

 

Vậy cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \)là 120 N, tạo với lực\(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} \) góc \({120^o}\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi O là vị trí của ca nô.

Vẽ \(\overrightarrow {OA} \) là vận tốc dòng nước (chảy từ phía bắc xuống phía nam),

\(\overrightarrow {OB} \) là vận tốc riêng của ca nô (chuyển động từ phía đông sang phía tây)

Khi đó vecto vận tốc của ca nô so với bờ sông là vecto \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \)

Gọi C là đỉnh thứ tư của hình bình hành OACB, ta có: \(\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \)

Xét tam giác OBC vuông tại B ta có:

BC = 40; BC = OA = 10.

\( \Rightarrow OC = \sqrt {O{B^2} + B{C^2}}  = 10\sqrt {17} \)

Vậy vận tốc của ca nô so với bờ sông là \(10\sqrt {17} \) km/h.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)