Question

Với \(a+b+c\ge1\) a, b, c >0

CMR: \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2bc}\ge9\)

Làm cách trâu bò nhất hộ em ạ, em đang tập làm Co si thoi, chỉ làm được mấy cách cơ bản thoi ạ, mong mấy pro giúp em~

Answer 1

Chắc chắn giả thiết phải là \(a+b+c\le1\).

Áp dụng BĐT Schwars ta có \(VT\ge\frac{9}{a^2+2bc+b^2+2ca+c^2+2bc}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1^2}=9\).

Còn nếu \(a+b+c\ge1\) thì cho a = b = c = 10000 chẳng hạn sẽ sai.

Answer 2

hình như đề sai rồi, thay a,b,c lần lượt là 1,2,3 ta thấy pt trên không \(\ge\) 9 được

Answer 3

Với x, y, z > 0 ta có BĐT:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\).

BĐT trên dễ dàng dc cm nhờ BĐT Côsi

Thật vậy, theo BĐT C-S thì:

\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz};\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\).

Nhân vế với vế ta có:

\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) (đpcm).

Answer 4

Hình như đề sai

Answer 5

Đề ghi vậy em chép lại vậy thoi chứ em cũng chả biết đề sai hay đúng nữa~