Viết phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:
a) (P) đi qua điểm A(2; 0; −1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) = (5; −2; 7).
b) (P) đi qua điểm B(−2; 3; 0) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}\) = (2; 2; −1), \(\overrightarrow{v}\) = (3; 1; 0).
c) (P) đi qua ba điểm A(2; 1; 5), B(3; 2; 7), C(4; 1; 6).
d) (P) đi qua ba điểm M(7; 0; 0), N(0; −2; 0), P(0; 0; 9).
a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {5; - 2;7} \right)\) nên có phương trình là \(5\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 0} \right) + 7\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 2y + 7z - 3 = 0\).
b) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là:
\(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {2.0 - \left( { - 1} \right).1; - 1.3 - 2.0;2.1 - 2.3} \right) = \left( {1; - 3; - 4} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( { - 2;3;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 3; - 4} \right)\) nên có phương trình là \(1\left( {x + 2} \right) - 3\left( {y - 3} \right) - 4\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 11 = 0\).
c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\), \(B\left( {3;2;7} \right)\), \(C\left( {4;1;6} \right)\) nên có 1 cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;0;1} \right)\). Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1.1 - 2.0;2.2 - 1.1;1.0 - 1.2} \right) = \left( {1;3; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {2;1;5} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;3; - 2} \right)\) nên có phương trình là \(1\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 2z + 5 = 0\).
d) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {7;0;0} \right)\), \(N\left( {0; - 2;0} \right)\), \(P\left( {0;0;9} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\frac{x}{7} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{9} = 1\).