Do (E) giao với Ox tại \({A_1}\left( { - 5;0} \right)\) nên ta có: \(a = 5\)
Do (E) giao với Oy tại \({B_2}\left( {0;\sqrt {10} } \right)\) nên ta có: \(b = \sqrt {10} \)
Vậy phương trình chính tắc của (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{10}} = 1\)
Cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\) .Tìm tọa độ các giao điểm của \(\left( E \right)\) với trục Ox, Oy và tọa độ các tiêu điểm của \(\left( E \right)\).
Viết phương trình chính tắc của hypebol \(\left( H \right)\), biết \(N\left( {\sqrt {10} ;2} \right)\) nằm trên \(\left( H \right)\) và hoành độ một giao điểm của \(\left( H \right)\) với trục Ox bằng 3.
Viết phương trình chính tắc của đường parabol, biết tiêu điểm \(F\left( {6;0} \right)\).
Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua hai điểm M(0 ; 3) và \(N\left(3;\dfrac{-12}{5}\right)\).
Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có \({A_1}{A_2}\) = 768 800 km và \({B_1}{B_2}{\rm{ }} = {\rm{ }}767{\rm{ }}619{\rm{ }}km\) (Nguồn: Ron Larson (2014), Precalculus Real Mathematics, Real People, Cengage) (Hình 62). Viết phương trình chính tắc của elip đó.
Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = {\rm{ }}2c\) (với a>c>0). Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của \({F_1}{F_2}\), trục Oy là đường trung trực của \({F_1}{F_2}\), và \({F_2}\) nằm trên tia Ox (Hình 52). Khi đó, \({F_1}\left( { - c;0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;0} \right)\) là hai tiêu điểm của elip (E). Chứng minh rằng:
a) \({A_1}\left( { - a;0} \right)\) và \({A_2}\left( {a{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\) đều là giao điểm của elip (E) với trục Ox,
b) \({B_1}\left( {0; - {\rm{ }}b} \right)\) và\({B_2}\left( {0;{\rm{ }}b} \right)\) , ở đó\(b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} \), đều là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
Để lập phương trình của đường hypebol trong mặt phẳng, trước tiên ta sẽ chọn hệ trục toạ độ Oxy thuận tiện nhất. Tương tự elip, ta chọn trục Ox là đường thẳng \({F_1}{F_2}\), trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng \({F_1}{F_2} = {\rm{ }}2c{\rm{ }}\left( {c{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right),\)gốc toạ độ O là trung điểm của đoạn thẳng \({F_1}{F_2}\) (Hình 54).
a) Tìm toạ độ của hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\).
b) Nếu dự đoán thích hợp cho “?” trong bảng sau:
Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của đường parabol trong mỗi trường hợp sau:
a) \({y^2} = \frac{{5x}}{2}\)
b) \({y^2} = 2\sqrt 2 x\)
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?
\(a)\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
b) \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
c) \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
d) \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
