Để lập phương trình của đường hypebol trong mặt phẳng, trước tiên ta sẽ chọn hệ trục toạ độ Oxy thuận tiện nhất. Tương tự elip, ta chọn trục Ox là đường thẳng \({F_1}{F_2}\), trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng \({F_1}{F_2} = {\rm{ }}2c{\rm{ }}\left( {c{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right),\)gốc toạ độ O là trung điểm của đoạn thẳng \({F_1}{F_2}\) (Hình 54).
a) Tìm toạ độ của hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\).
b) Nếu dự đoán thích hợp cho “?” trong bảng sau:
Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = {\rm{ }}2c\) (với a>c>0). Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của \({F_1}{F_2}\), trục Oy là đường trung trực của \({F_1}{F_2}\), và \({F_2}\) nằm trên tia Ox (Hình 52). Khi đó, \({F_1}\left( { - c;0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;0} \right)\) là hai tiêu điểm của elip (E). Chứng minh rằng:
a) \({A_1}\left( { - a;0} \right)\) và \({A_2}\left( {a{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\) đều là giao điểm của elip (E) với trục Ox,
b) \({B_1}\left( {0; - {\rm{ }}b} \right)\) và\({B_2}\left( {0;{\rm{ }}b} \right)\) , ở đó\(b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} \), đều là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm \({F_1},{F_2}\) trên mặt một bảng gỗ. Lấy một thước thẳng có mép AB và một sợi dây không đàn hồi có chiều dài \(l\) thoả mãn\(AB--{F_1}{F_2}{\rm{ }} < l < AB\) . Đính một đầu dây vào điểm A và đầu dây kia vào \({F_2}\). Đặt thước sao cho điểm B trùng với \({F_1}\), và lấy đầu bút chì (kí hiệu là M) tì sát sợi dây vào thước thẳng sao cho sợi dây luôn bị căng. Sợi dây khi đó là đường gấp khúc\(AM{F_2}\) , Cho thước quay quanh điểm B (trùng \({F_1}\)), tức là điểm A chuyển động trên đường tròn tâm B có bán kính bằng độ dài đoạn thẳng AB, mép thước luôn áp sát mặt gỗ (Hình 53). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường hypebol. Khi M thay đổi, có nhận xét gì về hiệu\(M{F_1} - M{F_2}\) ?
Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm \({F_1};{F_2}\) trên mặt một bảng gỗ. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn \(2{F_1}{F_2}\). Quàng vòng dây đó qua hai chiếc định và kéo căng tại vị trí của đầu bút chì (Hình 51). Di chuyển đầu bút chì sao cho dây luôn căng, đầu bút chì vạch nên một đường mà ta gọi là đường elip. Gọi vị trí của đầu bút chì là điểm M. Khi M thay đổi, có nhận xét gì về tổng độ dài\(M{F_1} + M{F_2}\) ?
Cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\) .Tìm tọa độ các giao điểm của \(\left( E \right)\) với trục Ox, Oy và tọa độ các tiêu điểm của \(\left( E \right)\).
Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có \({A_1}{A_2}\) = 768 800 km và \({B_1}{B_2}{\rm{ }} = {\rm{ }}767{\rm{ }}619{\rm{ }}km\) (Nguồn: Ron Larson (2014), Precalculus Real Mathematics, Real People, Cengage) (Hình 62). Viết phương trình chính tắc của elip đó.
Viết phương trình chính tắc của hypebol \(\left( H \right)\), biết \(N\left( {\sqrt {10} ;2} \right)\) nằm trên \(\left( H \right)\) và hoành độ một giao điểm của \(\left( H \right)\) với trục Ox bằng 3.
Viết phương trình chính tắc của elip \(\left( E \right)\), biết tọa độ hai giao điểm của \(\left( E \right)\) với Ox và Oy lần lượt là \({A_1}\left( { - 5;0} \right)\) và \({B_2}\left( {0;\sqrt {10} } \right)\)
Viết phương trình hypebol sau đây dưới dạng chính tắc: \(4{x^2}-9{y^2} = {\rm{ }}1.\)
Tìm tọa độ các tiêu điểm của đường hypebol trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
b) \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
