\(\left(S\right)\) có tâm O, bán kính \(R=2\sqrt{2}\)
Ta có \(OM=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+0^2}=1\)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên \(d\Rightarrow H\) là trung điểm AB
Trong tam giác vuông \(OHM\), do OH là cạnh góc vuông và OM là cạnh huyền \(\Rightarrow OH\le OM=1\)
\(\Rightarrow S_{OAB}=\dfrac{1}{2}AB.OH=\dfrac{1}{2}\left(2BH.OH\right)=BH.OH\)
Trong tam giác vuông \(OBH\):
\(BH=\sqrt{OB^2-OH^2}=\sqrt{R^2-OH^2}=\sqrt{8-OH^2}\)
\(\Rightarrow S_{OAB}=OH.\sqrt{8-OH^2}\)
Đặt \(OH=x\) với \(0\le x\le1\), xét hàm: \(f\left(x\right)=x\sqrt{8-x^2}\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\sqrt{8-x^2}+\dfrac{-2x}{2\sqrt{8-x^2}}.x=\dfrac{2\left(4-x^2\right)}{\sqrt{8-x^2}}\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)>0\) \(\forall x\in\left[0;1\right]\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left[0;1\right]\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)_{max}=f\left(1\right)=\sqrt{7}\)
Vậy diện tích lớn nhất của OAB là \(S_{max}=\sqrt{7}\) khi \(OH=OM=1\) hay \(H\) trùng M, đường thẳng \(d\perp OM\)
