Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vectơ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \). Lấy điểm A’ và vẽ các vectơ \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow b \) (H.2.10).
a) Giải thích vì sao \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} \) và \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} \).
b) Giải thích vì sao AA’C’C là hình bình hành, từ đó suy ra \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'} \).
a) Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng và cùng độ dài.
Vì \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {A'B'} \) cùng hướng và cùng độ dài.
Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {A'B'} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, AB//A’B’ và \(AB = A'B'\). Do đó, tứ giác ABB’A’ là hình bình hành. Suy ra, AA’//BB’ và \(AA' = BB' \Rightarrow \) hai vectơ \(\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} \) có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} \).
Vì \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \) nên hai vectơ \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng và cùng độ dài.
Vì \(\overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow b \) nên hai vectơ \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) cùng hướng và cùng độ dài.
Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, BC//B’C’ và \(BC = B'C'\). Do đó, tứ giác CBB’C’ là hình bình hành. Suy ra, CC’//BB’ và \(CC' = BB' \Rightarrow \) hai vectơ \(\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} \) có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} \).
b) Vì hai vectơ \(\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} \) có cùng hướng và cùng độ dài; hai vectơ \(\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} \) có cùng hướng và cùng độ dài nên hai vectơ \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {CC'} \) có cùng hướng và cùng độ dài. Do đó, AA’//CC’ và \(AA' = CC'\) nên tứ giác AA’C’C là hình bình hành. Suy ra, \(AC = A'C'\) và AC//A’C’. Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A'C'} \) có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'} \).