Trong các số tự nhiên phạm vi từ 10 000 đến 100 000 có bao nhiêu số thỏa mãn điều kiện: các chữ số của nó theo thứ tự từ trái sang phải là dãy tăng..
Các ví dụ:
- Số 12348 thỏa mãn điều kiện trên vì 1 < 2 < 3 < 4 < 8;
- Số 22345 không thoả mãn vì chữ số thứ nhất (2) và chữ số thứ hai (2) bằng nhau
- Số 12354 không thỏa mãn vì dãy các chữ số 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 4 không phải là dãy tăng. (5 > 4)
Tìm các số sao cho từ trái qua phải là dãy tăng
Các số thỏa mãn điều kiện bài toán là các số có 5 chữ số abcde với 0 < a < b < c < d < e. Ta thấy các số này thỏa mãn hai tính chất sau:
1) Các chữ số a, b, c, d khác nhau (các chữ số đều khác 0)
2) Các chữ số được sắp tăng từ trái qua phải.
Để đếm các số thỏa mãn đồng thời hai tính chất trên ta thực hiện qua 2 bước sau:
Bước 1: Đếm số có 5 chữ số thỏa mãn tính chất 1 (các chữ số khác nhau) mà tạm bỏ qua tính chất 2.
Ta có:
- Có 9 cách chọn chữ số a (từ 1 đến 9)
- Sau khi chọn a, có 8 cách chọn chữ số b (từ 1 đến 9 nhưng bỏ đi chữ số a đã chọn)
- Sau khi chọn a, b thì có 7 cách chọn chữ số c (từ 1 đến 9 nhưng bỏ đi chữ số a, b đã chọn)
- Sau khi chọn a, b, c thì có 6 cách chọn chữ số d (từ 1 đến 9 nhưng bỏ đi chữ số a, b, c đã chọn)
- Sau khi chọn a, b, c, d thì có 5 cách chọn chữ số e (từ 1 đến 9 nhưng bỏ đi chữ số a, b, c, d đã chọn)
Như vậy có tất cả: 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15120 số có 5 chữ số khác nhau và khác chữ số 0.
Bước 2: Tính số các số thỏa mãn thêm tính chất 2 (tức là các chữ số được sắp tăng từ trái qua phải).
Ta có nhận xét: Với bộ năm chữ số bất kì [ví dụ (1, 2, 3, 4, 5)] ta có thể viết được 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 số khác nhau từ bộ năm chữ số này (lý luận tương tự trên).
Trong 120 số này thì chỉ có 1 số thỏa mãn điều kiện các chữ số được sắp tăng từ trái qua phải.
Vì vậy số các số thỏa mãn thêm tính chất 2 ở trên bằng 1/120 số các số thỏa mãn điều kiện 1.
Và ta có: số các số thỏa mãn đồng thời hai tính chất 1 và 2 là: 15120 : 120 = 126 số.
Đáp số: 126 số.
