Gọi H là trung điểm của BC, O là trọng tâm của ΔABC
ΔABC đều có O là trọng tâm
nên OA=OB=OC
mà SA=SB=SC
nên SO⊥(ABC)
Xét ΔABC đều có AH là đường trung tuyến
nên \(AH=BC\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{2}\)
Xét ΔABC có
AH là đường trung tuyến
O là trọng tâm
Do đó: A,O,H thẳng hàng
=>\(AO=\frac23AH=\frac23\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{3}\)
ΔSOA vuông tại O
=>\(SO^2+OA^2=SA^2\)
=>\(SO^2=a^2-\left(\frac{a\sqrt3}{3}\right)^2=a^2-a^2\cdot\frac39=\frac69a^2\)
=>\(SO=\frac{a\sqrt6}{3}\)
Diện tích tam giác ABC là:
\(S_{ABC}=\frac{AB^2\sqrt3}{4}=\frac{a^2\sqrt3}{4}\)
Thể tích hình chóp S.ABC là:
\(V=\frac13\cdot SO\cdot S_{ABC}=\frac13\cdot\frac{a\sqrt6}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{a^3\cdot3\sqrt2}{36}=\frac{a^3\sqrt2}{18}\)
