Xét \(M\left(0;m\right)\in Oy\), đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình : \(y=kx+m\)
d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{x+1}{x-1}=kx+m\\\frac{-2}{\left(x-1\right)^2}=k\end{cases}\) có nghiệm
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :
\(\frac{x+1}{x-1}=\frac{-2x}{\left(x-1\right)^2}+m\Leftrightarrow\left(m-1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+m+1=0\) (*)
Để từ M chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số đã cho \(\Leftrightarrow\) (*) có đúng 1 nghiệm.
Do (*) không có nghiêm x = 1 nên (*) có đúng 1 nghiệm
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=1\\\Delta'=2m+2=0\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=1\\m=-1\end{array}\right.\)
Vậy có 2 điểm \(M_1\left(0;1\right);M_2\left(0;-1\right)\) thỏa mãn bài toán
