Question

tim so tu nhien n so cho so sau la so chinh phuong:

n⁴ + 2n³ + 2n² +n +7

Answer 1

Lời giải:

Dùng pp kẹp thôi:

Đặt biểu thức đã cho là $A$

Xét \(n=0\) không thỏa mãn.

Xét \(n\geq 1\)

Với \(n\in\mathbb{N}\) thì:\(A=n^4+2n^3+2n^2+n+7=(n^2+n)^2+n^2+n+7>(n^2+n)^2\)

Mặt khác, xét :

\(A-(n^2+n+2)^2=-3n^2-3n+3<0\) với mọi \(n\geq 1\)

\(\Leftrightarrow A< (n^2+n+2)^2\)

Như vậy \((n^2+n)^2< A< (n^2+n+2)^2\), suy ra để $A$ là số chính phương thì

\(A=(n^2+n+1)^2\Leftrightarrow n^4+2n^3+2n^2+n+7=(n^2+n+1)^2\)

\(\Leftrightarrow -n^2-n+6=0\Leftrightarrow (n-2)(n+3)=0\)

Suy ra \(n=2\)