Ta có:
18n + 3 chia hết cho 7. = 18n + 3 = 18n + 3n - 3n + 3
= 21n - 3(n - 1) chia hết cho 7.
Vì 21n chia hết cho 7
=> 3(n - 1) chia hết cho 7
Vì 3 không chia hết cho 7
=> n - 1 chia hết cho 7
Đặt k là số lần n - 1 chia hết cho 7
=> ( n - 1 ) : 7 = k
=>n - 1 = 7k
=> n = 7k + 1
Nếu k = 0 => n = 1
Nếu k = 1 => n = 8
Nếu k = 2 => n = 15
.........
<=> 14n + 4n + 3 chia hết cho 7
Vì 14n chia hết cho 7 => 4n + 3 chia hết cho 7.
Vì 7 chia hết cho 7 => 4n + 3 - 7 chia hết cho 7.
<=> 4n - 4 chia hết cho 7
<=> 4.(n - 1) chia hết cho 7
Ta lại có ƯCLN(4 ; 7) = 1 nên n - 1 chia hết cho 7
=> n - 1 = 7k (k \(\in\) N). Vậy n = 7k + 1
Theo đầu bài ,ta có: 18n + 3 chia hết cho 7.
Biến đổi: 18n + 3 = 18n + 3n ‐ 3n + 3
= 21n ‐ 3﴾n ‐ 1﴿ chia hết cho 7.
Vì 21n chia hết cho 7
=> 3﴾n ‐ 1﴿ chia hết cho 7
Vì 3 không chia hết cho 7
=> n ‐ 1 chia hết cho 7
Đặt k là số lần n ‐ 1 chia hết cho 7
=> ﴾ n ‐ 1 ﴿ : 7 = k
n ‐ 1 = 7k
n = 7k + 1
Nếu k = 0 => n = 1
Nếu k = 1 => n = 8
Nếu k = 2 => n = 15
18n + 3 chia hết cho 7
<=> 14n + 4n + 3 chia hết cho 7
Vì 14n chia hết cho 7 => 4n + 3 chia hết cho 7.
Vì 7 chia hết cho 7 => 4n + 3 ‐ 7 chia hết cho 7.
<=> 4n ‐ 4 chia hết cho 7
<=> 4.﴾n ‐ 1﴿ chia hết cho 7
Ta lại có ƯCLN﴾4 ; 7﴿ = 1 nên n ‐ 1 chia hết cho 7
=> n ‐ 1 = 7k ﴾k N﴿. Vậy n = 7k + 1
Giải
Cách 1 :
18n + 3 : 7
=> 14n + 4n + 3 : 7
=> 4n + 3 : 7
=> 4n + 3 - 7 : 7
=> 4n - 4 : 7
=> 4 - ( n - 1 ) : 7
Ta lại có ( 4, 7 ) = 1 nên n - 1 : 7
Vậy n = 7k + 1 ( k E N ).
Cách 2 :
18n + 3 : 7
=> 18n + 3 - 21 : 7
=> 18n - 18 : 7
=> 18(n - 1 ) : 7
Ta lại có ( 18, 7 ) = 1 nên n - 1 : 7
Vậy n = 7k + 1 ( k E N ).
Nhận xét : Việc thêm bớt các bội của 7 trong hai cách giải trên nhằm đi đến một biểu thức chia hết cho 7 mà ở đó hệ số của n bằng 1.
Ta có: 18n + 3 = 14n + 4n + 3 vì 14n ⋮ 7
Nên: Để 18n + 3 ⋮ 7
<=> 4n + 3 ⋮ 7
<=> 4n + 3 - 7 ⋮ 7
<=> 4n - 4 ⋮ 7
<=> 4 (n - 1) ⋮ 7
<=> n - 1 ⋮ 7
=> n = B(7) + 1
