Question

Tìm phương trình bậc hai với các hệ số nguyên biết rằng \(2+\sqrt{3}\) là một nghiệm của phương trình

Answer 1

Gọi pt có dạng \(ax^2+bx+c=0\) với a;b;c nguyên (\(a\ne0\))

Do \(2+\sqrt{3}\) là 1 nghiệm của pt nên:

\(a\left(2+\sqrt{3}\right)^2+b\left(2+\sqrt{3}\right)+c=0\)

\(\Leftrightarrow7a+4\sqrt{3}a+2b+\sqrt{3}b+c=0\)

\(\Leftrightarrow7a+2b+c=-\sqrt{3}\left(4a+b\right)\)

Vế trái hữu tỉ vế phải vô tỉ nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}7a+2b+c=0\\4a+b=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-c=0\\b=-4a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=a\\b=-4a\end{matrix}\right.\)

Thay vào pt ban đầu: \(ax^2-4ax+a=0\Leftrightarrow x^2-4x+1=0\)