\(y=2sinx+sin2x\Rightarrow y'=2cosx+2cos2x=4cos^2x+2cosx-2\)
\(y'=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=-1\\cosx=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pi+k2\pi\\x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(y\left(\pi\right)=0\) ; \(y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\); \(y\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow y_{max}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\) khi \(x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\)
Giải kiểu lớp dưới cũng được, hơi mất thời gian 1 chút thôi:
\(P=2sinx+2sinx.cosx=2sinx\left(cosx+1\right)\)
Áp dụng BĐT \(4ab\le\left(a+b\right)^2\) ta có:
\(P=\frac{1}{2\sqrt{3}}.4.\sqrt{3}sinx\left(cosx+1\right)\le\frac{1}{2\sqrt{3}}\left(\sqrt{3}sinx+cosx+1\right)^2\)
\(\Rightarrow P\le\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx+\frac{1}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow P\le\frac{2}{\sqrt{3}}\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2}\right]^2\le\frac{2}{\sqrt{3}}\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow P_{max}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1\\\sqrt{3}sinx=cosx+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\)
Mà tưởng lớp 11 học đạo hàm rồi chứ
