ta có \(x^2-1=2y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)=2y^2\)
vì \(2y^2⋮2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮2\)
mà x + 1 và x - 1 cùng tính chẵn lẻ
⇒ cả 2 số đều chẵn
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮4\)
\(\Rightarrow2y^2⋮4\Rightarrow y^2⋮2\Rightarrow y⋮2\)
mà y nguyên tố ⇒ y = 2
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)=8=2.4\) (vì x - 1 và x + 1 đều chẵn)
mặt khác x + 1 > x - 1
⇒ x - 1 = 2 ⇒ x = 3
vậy (x,y) = (3;2)
1 cách giải khác:v \(x^2-1=2y^2\Leftrightarrow x^2=2y^2+1\) Suy ra \(x^2\) là số lẻ \(\Leftrightarrow x\) lẻ.Đặt: \(x=2l+1\) ta được: \(\left(2l+1\right)^2=2y^2+1\Leftrightarrow4l^2+4l+1=2y^2+1\) \(\Rightarrow4l^2+4l=2y^2\Leftrightarrow2\left(2l^2+2l\right)=2y^2\Leftrightarrow2\left(l^2+l\right)=y^2\).Suy ra \(y^2\) chẵn suy ra y là số nguyên tố chẵn. Hay y=2( snt chẵn duy nhất là 2). Thay vào tìm được x=3
