Question

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH( H thuộc BC).Từ H kẻ HE vuông góc với AB( E thuộc AB)và HF vuông góc với AC ( F thuộc AC).Hỏi khi độ dài các cạnh AB ,AC thay đổi thì AE/AB +AF/AC có thay đổi không

Answer 1

\(AE\cdot AB=AH^2\)

nên \(\dfrac{AE\cdot AB}{AB^2}=\dfrac{AH^2}{AB^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AH^2}{AB^2}\)

\(AF\cdot AC=AH^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AF\cdot AC}{AC^2}=\dfrac{AH^2}{AC^2}\)

hay \(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AH^2}{AC^2}\)

\(\dfrac{AE}{AB}+\dfrac{AF}{AC}=AH^2\left(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\right)=AH^2\cdot\dfrac{BC^2}{AB^2\cdot AC^2}\)

\(=AH^2\cdot\dfrac{BC^2}{\left(AB\cdot AC\right)^2}=AH^2\cdot\dfrac{BC^2}{\left(AH\cdot BC\right)^2}=1\)