Question

Một đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) không qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt các đường thẳng GA, GB, GC tại A', B', C' theo thứ tự đó. Chứng minh rằng trong ba đại lượng \(\frac{GA}{GA'};\frac{GB}{GB'};\frac{GC}{GC'}\) có một đại lượng bằng tổng hai đại lượng còn lại

Answer 1

Yêu cầu bài toán tương đương với 

\(\frac{\overrightarrow{GA}}{\overrightarrow{GA'}}+\frac{\overrightarrow{GB}}{\overrightarrow{GB'}}+\frac{\overrightarrow{GC}}{\overrightarrow{GC'}}=0\) (1)

Gọi \(X_1\)  là điểm trên đường thẳng AB sao cho \(XX_1\) // \(\Delta\) (tức là  \(X_1\)  là hình chiếu song song của điểm X trên đường thẳng AB theo phương chiếu  \(\Delta\) .

 Khi đó \(A_1\equiv A,B_1\equiv B,A'_1\equiv B'_1\equiv C'_1,\)

Theo định lí Ta-lét ta có :

\(\frac{\overrightarrow{GA}}{\overrightarrow{GA'}}=\frac{\overrightarrow{G_1A}}{\overrightarrow{G_1A_1'}};\frac{\overrightarrow{GB}}{\overrightarrow{GB'}}=\frac{\overrightarrow{G_1B}}{\overrightarrow{G_1B_1'}};\frac{\overrightarrow{GC}}{\overrightarrow{GC'}}=\frac{\overrightarrow{G_1C_1}}{\overrightarrow{G_1C_1'}};\)

Suy ra 

\(\frac{\overrightarrow{GA}}{\overrightarrow{GA'}}+\frac{\overrightarrow{GB}}{\overrightarrow{GB'}}+\frac{\overrightarrow{GC}}{\overrightarrow{GC'}}=\frac{\overrightarrow{G_1A}+\overrightarrow{G_1B}+\overrightarrow{G_1C_1}}{\overrightarrow{G_1A'_1}}=0\)(2)

Lại do \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\) nên \(\overrightarrow{G_1A}+\overrightarrow{G_1B}+\overrightarrow{G_1C_1}=0\)

Vậy \(\overrightarrow{G_1A}+\overrightarrow{G_1B}+\overrightarrow{G_1C_1}=0\)

Từ (1) và (2) suy ra được điều cần chứng minh

Answer 2